Hace ∑∞n=4(1log(log(n)))log(n)∑n=4∞(1log⁡(log⁡(n)))log⁡(n)\sum_{n=4}^\infty \left(\frac{1}{\log(\log(n))}\right)^{\log(n)} convergen?

Question

Hace ∑∞n=4(1log(log(n)))log(n)∑n=4∞(1log⁡(log⁡(n)))log⁡(n)\sum_{n=4}^\infty \left(\frac{1}{\log(\log(n))}\right)^{\log(n)} convergen?

suma
Matemáticas
análisis real
secuencias y series
convergencia divergencia

ShishRobot

Tengo esta serie que no puedo entender cómo encontrar su carácter.

\begin{matrix} (1) & \sum_{norte = 4}^{\infty} {(\frac{1}{registro (registro (norte))})}^{registro (norte)} \end{matrix}

$\tag{1} \sum_{n=4}^\infty \left(\frac{1}{\log(\log(n))}\right)^{\log(n)}$ Para ejercitarme, resolví una serie similar para conseguir el fundamento de cómo resolver la anterior.

\begin{matrix} (2) & \sum_{norte = 2}^{\infty} {(\frac{1}{registro (norte)})}^{registro (norte)} \end{matrix}

$\tag{2} \sum_{n=2}^\infty \left(\frac{1}{\log(n)}\right)^{\log(n)}$ Esta es mi solución:

a_{n}

$a_n$ es una serie formada por términos positivos, por lo que no puede ser irresoluble (diverge positivamente o converge).

registro (norte)^{registro (norte)} = ({mi}^{registro (norte)})^{registro (registro (norte))} = {norte}^{registro (registro (norte))} \geq {norte}^{registro (3)}

$\log(n)^{\log(n)} = (e^{\log(n)})^{\log(\log(n))} = n^{\log(\log(n))} \ge n^{\log(3)}$

\forall n > e^{3}

$\forall n >e^3$ ,

\log (3) > 3

$\log(3)>3$ ,

\log (\log (n)) > \log (3) > 1

$\log(\log(n))>\log(3)>1$ . Entonces tenemos eso

\frac{1}{registro (norte)^{registro (norte)}} \leq \frac{1}{{norte}^{registro (3)}}

$\frac{1}{\log(n)^{\log(n)}} \le \frac{1}{n^{\log(3)}}$

\forall n > e^{3}

$\forall n> e^3$ .

Y por el criterio de comparación asintótica por el hecho de que

\begin{matrix} (3) & \sum \frac{1}{{norte}^{registro (3)}} \end{matrix}

$\tag{3} \sum \frac{1}{n^{\log(3)}}$ es la serie armónica generalizada con

p = \log (3) > 1

$p=\log(3)>1$ por lo que converge.

(3)

$(3)$ converge entonces

(2)

$(2)$ converge

No sé cómo usar esto para resolver $(1)$ , no puedo encontrar ninguna desigualdad para hacerlo bien.

Respuestas (3)

Hace ∑∞n=4(1log(log(n)))log(n)∑n=4∞(1log⁡(log⁡(n)))log⁡(n)\sum_{n=4}^\infty \left(\frac{1}{\log(\log(n))}\right)^{\log(n)} convergen?

Tomas Andrews · Answer 1

Su argumento funciona de manera más general.

Dada cualquier función positiva $f(n):$

F (norte)^{registro norte} = {mi}^{registro F (norte) registro norte} = {norte}^{registro F (norte)}

$f(n)^{\log n}=e^{\log f(n)\log n}=n^{\log f(n)}$

Ahora si $f(n)\to\infty$ como $n\to\infty$ podemos conseguir eso

\sum {(\frac{1}{F (norte)})}^{registro norte}

$\sum \left(\frac1{f(n)}\right)^{\log n}$ converge, por su razonamiento.

Aún más débil aún, si hay alguna $c>e$ y algo $N,$ tal que $f(n)\geq c$ para todos $n\geq N,$ entonces la serie converge.

Entonces solo necesitas $f(n)=\log\log n\geq 3$ para $n$ suficientemente grande, digamos $n>e^{e^3}.$

Si $f$ es no decreciente, la serie diverge si y solo si $f(n)\leq e$ para todos $n.$

usuario · Answer 2

Por la prueba de condensación de Cauchy tenemos

\sum_{norte = 4}^{\infty} 2^{norte} {(\frac{1}{registro (registro (2^{norte}))})}^{registro (2^{norte})} = \sum_{norte = 4}^{\infty} {(\frac{mi}{registro (norte registro 2)})}^{norte registro 2}

$\sum_{n=4}^\infty 2^n\left(\frac{1}{\log(\log(2^n))}\right)^{\log(2^n)}=\sum_{n=4}^\infty \left(\frac{e}{\log(n\log 2)}\right)^{n\log 2}$

que converge.

marca viola · Answer 3

Siguiendo el enfoque descrito en el OP, tenemos

\begin{aligned} {(\frac{1}{registro (registro (norte))})}^{registro (norte)} & = {mi}^{- registro (norte) registro (registro (registro (norte)))} \\ = {norte}^{- registro (registro (registro (norte)))} \end{aligned}

$\begin{align} \left(\frac{1}{\log(\log(n))}\right)^{\log(n)}&=e^{-\log(n)\log(\log(\log(n)))}\\\\ &=n^{-\log(\log(\log(n)))} \end{align}$

Para todos $n>e^{e^e}$ , $\log(\log(\log(n)))>1$ y por cuanto $\log(n)$ crece montotónicamente, la serie converge.

La única razón $\log\log\log n>1$ es suficiente es que va en aumento. Si $\log\log\log(n)>1$ pero $\log\log\log(n)\to 1,$ entonces la serie no necesariamente convergería. Necesitas algo $c>1$ tal que $\log\log\log n\geq c$ para grande $n.$
@ThomasAndrews Sí, pensé que esto era más que obvio. He editado para aclarar las cosas.

Hace ∑∞n=4(1log(log(n)))log(n)∑n=4∞(1log⁡(log⁡(n)))log⁡(n)\sum_{n=4}^\infty \left(\frac{1}{\log(\log(n))}\right)^{\log(n)} convergen?

ShishRobot

Respuestas (3)

Tomas Andrews

usuario

marca viola

Tomas Andrews

marca viola

¿Es la prueba integral necesaria y suficiente para la convergencia?

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