¿Por qué se mantiene esta equivalencia de sumas? [cerrado]

La forma más sencilla de probar esta ecuación no tiene nada que ver con el sumando real: si reemplazas$(1/2)^k$por cualquier otra cosa, la ecuación también es verdadera (con una hipótesis de convergencia adecuada). Simplemente se reduce a una igualdad de conjuntos de índices.

Para ver esto intuitivamente, tenga en cuenta que en el plano de coordenadas cartesianas, con el eje horizontal etiquetado$j$y eje vertical etiquetado$k$, los conjuntos de índices en ambos lados de la ecuación son iguales al conjunto de puntos de red enteros en el abierto$1^{\text{st}}$cuadrante en o por encima de la línea$k=j+1$.

Guiado por esa intuición, probablemente pueda ver muy directamente que para cualquier$(j,k) \in \mathbb N \times \mathbb N$,

$$\begin{align*} & \quad \bigl( 2 \le k \quad\text{and}\quad 1 \le j \le k-1 \bigl)\\ \text{if and only if} & \quad \bigl( j \ge 1 \quad\text{and}\quad k \ge 2 \quad\text{and}\quad k \ge j+1 \bigr) \\ \text{if and only if} & \quad \bigl( 1 \le j \quad\text{and}\quad j+1 \le k \bigr) \end{align*}$$

La equivalencia se puede mostrar fácilmente mediante doble conteo de acuerdo con el siguiente esquema

en efecto

• $\sum_{k=2}^{\infty} \sum_{j=1}^{k-1}\left(\frac{1}{2}\right)^{k}$es la suma columna por columna
• $\sum_{j=1}^{\infty} \sum_{k=j+1}^{\infty}\left(\frac{1}{2}\right)^{k}$es la suma fila por fila

Usando series geométricas , para la suma interna tenemos$\sum_{j=1}^{k-1}\left(\frac{1}{2}\right)^k=\frac{k-1}{2^k}$. Ahora insertando este resultado en la suma externa, obtenemos$\sum _{k=2}^R \frac{k-1}{2^k}=1-\frac{R+1}{2^R}$.

Poniendo esto junto, obtenemos para el lado izquierdo (usando el límite$R$en lugar de infinito):

$$\sum_{k=2}^{R}\sum_{j=1}^{k-1}\left(\frac{1}{2}\right)^k=1-\frac{R+1}{2^R}$$

Entonces, ¿qué está pasando en el lado derecho? Para la suma interna tenemos$\sum _{k=j+1}^R \left(\frac{1}{2}\right)^k=\frac{1}{2^j}-\frac{1}{2^R}$. Insertemos este resultado en la suma externa y obtenemos también$\sum _{j=1}^R \left(\frac{1}{2^j}-\frac{1}{2^R}\right)=1-\frac{R+1}{2^R}$.

Por lo tanto, al reemplazar en el lado derecho en ambas sumas infinito con$R$, obtienes también:

$$\sum_{j=1}^{R}\sum_{k=j+1}^{R}\left(\frac{1}{2}\right)^k=1-\frac{R+1}{2^R}$$

Por lo tanto podemos concluir$C\left(1-\frac{R+1}{2^R}\right)=C\left(1-\frac{R+1}{2^R}\right)$cual es verdad.