Integración de la función de partición sobre muchas variables de momento

Es una integral dimensional 3N, pero se reduce a la N-ésima potencia de una integral tridimensional (y, en última instancia, a la 3N-ésima potencia de una integral unidimensional), por lo que probablemente tenga una fuente descuidada.

$$Z = \int (\prod_i d^3p_i) e^{-\beta \sum_i {p_i^2\over 2m}} = \prod_i (\int e^{-\beta {p^2\over 2m}} d^3p) = I^N$$

Dónde

$$I = \int e^{-\beta {p^2\over 2m}} d^3 p$$

La integral I es realmente el producto de tres gaussianas independientes en$p_x$,$p_y$,$p_z$, entonces la respuesta es

$$I = ({\sqrt{m}\over \sqrt{2\pi \beta}})^3$$

Cual es el cubo de la integral de cada Gaussiana por separado. De modo que

$$Z= {m^{3N\over 2} \over (2\pi \beta)^{3N\over 2}}$$

y tomando el logaritmo da la energía libre del gas ideal:

$$\beta F = {3N\over 2}\log(T)$$

y puede leer el calor específico del gas ideal a partir de esta fórmula ---${3N\over 2}$. Esto funciona para cualquier variable cuadrática en H, y este es el teorema de equipartición.