¿Podemos obtener los diagramas de Feynman utilizando la representación en serie infinita de una integral de trayectoria?

Existe un vínculo entre los diagramas de Feynman y la integral de trayectoria. Sin pérdida de generalidad, nos especializaremos en el caso de campos escalares por simplicidad, tales como$\phi^4$teoría descrita por,

$$\mathcal L = \frac12 \partial_\mu \phi \partial^\mu \phi - \frac12 m^2 \phi^2 - \frac{\lambda}{4!}\phi^4.$$

El funcional generador de la teoría libre es,

$$Z_0[J] = \int \mathcal D[\phi] \, e^{iS[\phi] + \int d^4x \, J(x)\phi(x)} =\exp \left[ -\frac{i}{2} \int d^4x \, d^4y \, J(x)\Delta(x-y)J(y)\right]$$

dónde$\Delta(x-y)$es el propagador de Feynman. Para la teoría de la interacción, tenemos,

$$Z[J] = \frac{\exp \left[ -\frac{i\lambda}{4!} \int d^4z \left( \frac{1}{i}\frac{\delta}{\delta J(z)}\right)^4\right] Z_0[J]}{\exp \left[ -\frac{i\lambda}{4!} \int d^4z \left( \frac{1}{i}\frac{\delta}{\delta J(z)}\right)^4\right] Z_0[J] \bigg\rvert_{J=0}}.$$

$Z[J]$se puede expandir gráficamente en términos de diagramas de Feynman de espacio de posición; los primeros dos términos, además de la constante, es un diagrama de renacuajo y el vértice de cuatro puntos.

Entonces, de hecho, hay una representación en serie infinita de la integral de trayectoria, en términos de estos diagramas. También podemos vincular la integral de trayectoria a las amplitudes de dispersión, pero debe saber que podemos representar funciones de correlación ordenadas en el tiempo como, por ejemplo,

$$\langle \mathcal T \{ \phi(x_1)\phi(x_2)\} \rangle = -\frac{\delta^2}{\delta J(x_2) \delta(x_1)} Z[J]\bigg\rvert_{J=0}$$

es decir, derivados funcionales del funcional generador de la teoría que interactúa. Como ejemplo, ahora podemos relacionar la amplitud de dispersión para$|p_1,p_2\rangle$a$|p_3,\dots,p_n\rangle$a través de la fórmula de reducción LSZ:

$$\langle p_3, \dots, p_n | S | p_1,p_2 \rangle = i^n \int d^4x_1 e^{-ip_1 x_1}(\square_1 + m^2) \dots \prod_{i=1}^n \int d^4 x_i e^{ip_i x_i} (\square_i + m^2) \times$$ $$\times \langle \mathcal{T} \{\phi(x_1) \dots \phi(x_i)\}\rangle.$$

Así para resumir:

• La integral de trayectoria tiene una representación pictórica como una serie de diagramas de Feynman de espacio de posición.
• Las funciones de correlación, dado que pueden expresarse en términos de integrales de trayectoria, también poseen una expansión del diagrama de Feynman.
• A través de la fórmula de reducción LSZ, se vinculan las amplitudes de dispersión y las funciones de correlación de los campos.