¿Las trayectorias de Feynman de la velocidad FTL tienen un impulso imaginario?

El hecho de que el momento sea real no tiene nada que ver total y absolutamente al 100% con si una tangente a una curva es similar al tiempo, a la luz o al espacio.

El vector energía-momento apunta en la dirección de la tangente a la línea de mundo de la partícula. La línea de tiempo está en un espacio-tiempo real de cuatro dimensiones, por lo que su tangente tiene 4 componentes reales. Si esa tangente es temporal, luminosa o espacial está determinada por si:

$$(c\Delta t)^2-(\Delta x)^2-(\Delta y)^2-(\Delta z)^2,$$ es positivo, cero o negativo respectivamente.

Para tener una tangente espacial, solo tienes$(c\Delta t)^2<(\Delta x)^2+(\Delta y)^2+(\Delta z)^2.$Para tener una tangente temporal, basta con tener$(c\Delta t)^2>(\Delta x)^2+(\Delta y)^2+(\Delta z)^2.$No se requiere nada imaginario para ninguno de los dos casos.

Si tuviera una partícula masiva con una tangente temporal, puede escalar el vector tangente "unitario":

$$u=\frac{(c\Delta t,\Delta x,\Delta y,\Delta z)}{\sqrt{(c\Delta t)^2-(\Delta x)^2-(\Delta y)^2-(\Delta z)^2}},$$ por la masa para obtener el vector energía-momento: $$mu=\frac{m(c\Delta t,\Delta x,\Delta y,\Delta z)}{\sqrt{(c\Delta t)^2-(\Delta x)^2-(\Delta y)^2-(\Delta z)^2}}.$$

Si tuviera una partícula masiva con una tangente similar al espacio, puede escalar el vector tangente "unitario":

$$u=\frac{(c\Delta t,\Delta x,\Delta y,\Delta z)}{\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2+(\Delta z)^2-(c\Delta t)^2}},$$ por la masa para obtener el vector energía-momento: $$mu=\frac{m(c\Delta t,\Delta x,\Delta y,\Delta z)}{\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2+(\Delta z)^2-(c\Delta t)^2}}.$$

En ambos casos, hay una línea de mundo, tiene una tangente con una unidad de magnitud y un vector de energía-momento apunta exactamente en la misma dirección en el espacio-tiempo, pero está escalado por la masa. Una curva similar a la luz es en realidad diferente porque entonces un vector de energía-momento es solo un vector que es tangente, solo que no hay una longitud asociada con una magnitud particular del vector de energía-momento.

Entonces, veamos qué significa tener diferentes tangentes. son vectores Pueden tener diferentes direcciones, están en el espacio-tiempo, por lo que estas diferentes direcciones corresponden a diferentes velocidades, incluso corresponden a velocidades FTL si esa es la forma en que es una curva. Entonces, ¿cuál es la masa de un vector energía-momento? Es solo el largo. No es nada más, nunca lo fue. No es la fuente de la gravedad (la energía, el impulso y la tensión lo son, y siempre lo fueron), no es algo que se suma para obtener un total (solo cuando los vectores apuntan casi en la misma dirección, la longitud de la suma es casi igual). a la suma de las longitudes), no es más que una longitud.

Dadas la energía y la longitud, puedes averiguar la magnitud del impulso. Dado el impulso y la longitud, puedes averiguar la magnitud de la energía. Se trata realmente del equilibrio entre la energía y el impulso.

Temporal significa más energía que impulso. Spacelike significa más impulso que energía. Lightlike significa cantidades iguales de ambos. Absolutamente nada más profundo. Entonces, como el espacio, solo significa que tienes un exceso de impulso para tu energía. No se trata de un momento imaginario, esto es algo geométrico en una variedad 4d real.

Entonces, si desea moverse en un lugar donde su impulso y energía no están equilibrados de la forma habitual, debe moverse fuera de la cáscara , lo que significa que tiene una longitud inusual. Esto sucede en métodos integrales de ruta. Solo tiene que aceptar que los caminos pueden ir en la dirección que deseen, y que el vector de momento de energía apunta en la dirección en el espacio-tiempo en la que va la partícula, por lo que los caminos de partículas FTL son solo vectores de momento de energía con más momento que energía.

Para ser claros, puede elegir un impulso arbitrariamente pequeño (pero real) y siempre que haga que la energía sea aún más pequeña, entonces puede moverse a velocidades arbitrariamente rápidas. Déle energía cero (tan claramente fuera de la cáscara ) y se mueve infinitamente rápido. Cubrimos cualquier velocidad usando solo impulso real.

Las personas que quieren venderle un impulso imaginario probablemente solo tengan alguna suposición o sesgo que hayan incluido.

Dado que su pregunta es sobre fenómenos relativistas especiales, creo que la mejor manera de responder a su pregunta es si, en el contexto de la teoría cuántica de campos, el propagador se define, en el caso de una teoría de campos escalares, como:

$$W(x-y)=\langle0|T[\phi(x)\phi(y)]|0\rangle$$ que se puede poner en relación con la formulación de la integral de trayectoria de QFT a través de la siguiente ecuación: $$W(x-y)=\int D[\phi]\phi(x)\phi(y)e^{iS[\phi]}$$ ese es el valor esperado del operador compuesto $\phi(x)\phi(y)$sobre toda la configuración de campo posible ponderada con $\\e^{iS[\phi]}$. En la integral de trayectoria se evalúan todas las configuraciones de campo, porque la configuración no física también contribuye a la amplitud de probabilidad, incluso si no son observables. Tales configuraciones de campo tienen un peso menor en el resultado de la integración ya que interfieren entre sí dejando la configuración clásica (la que hace estacionaria la acción). $\delta S=0$) por ser el más relevante. Ahora hago hincapié en todo eso, ya que es importante entender que en QFT las partículas no son objetos bien definidos, ya que no se pueden localizar más allá de su longitud de onda compton. $\lambda_c=\frac{\hbar}{mc}$por eso la trayectoria de una partícula no es un concepto bien definido a todas las escalas. Esa es una de las muchas razones por las que tomamos la descripción del campo. La idea de la suma de caminos, en términos generales, se reemplaza con la suma de todas las posibles configuraciones de campo que crea la partícula o partículas en un determinado punto del espacio-tiempo. Y ahora volvamos al propagador (en aras de la simplicidad supondremos que $(x_0-y_0)>0$de modo que $T(\phi(x)\phi(y))=\phi(x)\phi(y))$): tomemos como ejemplo una teoría cuántica escalar libre de campos: $$L=\frac{1}{2}(\partial^\mu\phi)^2-\frac{1}{2}m^2\phi^2$$ dado que es una teoría libre, solo habrá contribuciones de una sola partícula al propagador, entonces podemos escribir insertando la identidad $$\mathbb I=\sum|n\rangle\langle n|$$ dónde $|n\rangle$es un estado propio de n partículas de los cuatro impulsos $\hat{P}^\mu$ahora que solo importa la contribución de una partícula, podemos escribir: $$W(x-y)=\int d^3p\frac{1}{2\omega_p}\langle0|\phi(x)|p\rangle\langle p|\phi(y)|0\rangle$$ eso es crucial, de hecho, dado que estamos usando los valores propios del operador de cuatro impulsos, que tiene un valor real, ¡la suma de todos los estados de impulso posibles se realiza sobre los valores reales de la misma! Podemos usar la simetría traslacional para escribir $U(x)\phi(0)U^\dagger(x)=\phi(x)$dónde $$U(x)=e^{iP\centerdot x}$$ entonces $$W(x-y)=\int d^3p \frac{1}{2\omega_p}e^{-iP\centerdot(x-y)}|\langle0|\phi(0)|p\rangle|^2$$ se sigue de la invariancia de lorentz que $|\langle0|\phi(0)|p\rangle|^2=constant=\frac{1}{(2\pi)^{3}}$entonces tenemos $$W(x-y)=\int \frac{d^3p}{(2\pi)^3}\frac{1}{2\omega_p}e^{-iP\centerdot(x-y)}=i\Delta_F(x-y)$$ que es (para el caso $(x_0-y_0)>0$) el propagador habitual de Feynman. Como puede ver en esta derivación (concisa), no se ha hecho uso de ningún momento imaginario ya que ni siquiera la mecánica cuántica solicita la existencia de cantidades observables imaginarias. Ahora demostraré que la probabilidad de que se encuentre una partícula fuera del cono de luz no es cero, pero ese hecho no implica la existencia de un momento imaginario (como espero haber dejado claro) ni el hecho de que tal cosa se pueda observar, vamos empecemos:

Considerar$\Delta_F(x-y)=\int \frac{d^3p}{(2\pi)^3}\frac{1}{2\omega_p}e^{-iP\centerdot(x-y)}$en el caso de la distancia$|x-y|$para ser similar al espacio, habrá un marco en el que$x_0=y_0$y$\vec{x}-\vec{y}=\vec{r}$por lo tanto tendremos

$$\Delta_F(x-y)=\int \frac{d^3p}{(2\pi)^3}\frac{1}{2\omega_p}e^{i \vec{p}\centerdot\vec{r}}=\frac{2\pi}{(2\pi)^3}\int_{0}^{\infty} \int_{0}^{\pi} dpd{\phi}\frac{p^2 \sin(\phi)}{2\omega_p}e^{i pr\cos(\phi) }$$ ahora la integral $$\int_{0}^{\pi} d{\phi} \sin(\phi) e^{i pr\cos(\phi) } =2 \frac{sin(pr)}{pr}$$ así escribiremos $$\Delta_F(x-y)=\frac{-i}{(2\pi)^2} \int_{0}^{\infty} \frac{p^2}{2 \omega_P} \frac{e^{ipr}-e^{-ipr}}{pr}=\frac{-i}{2(2\pi)^2r} \int_{-\infty}^{\infty} \frac{p}{\sqrt{p^2+m^2}} e^{ipr}$$ acabamos de juntar las dos integrales con $e^{ipr}-e^{-ipr}$con solo hacer en el segundo la sustitución $p \rightarrow -p$. Ahora, para evaluar dicha integral, usaremos métodos de análisis complejos, es importante comprender que este es solo un paso intermedio después del cual operaremos un límite para regresar al espacio de momento real. No se hace ni se debe hacer ninguna interpretación física de tal paso técnico, es solo una manera fácil de calcular la integración. Como es una operación bastante aburrida, te diré lo que se encuentra: $$\Delta_F(r)\sim e^{-mr}$$ fuera del cono de luz, la amplitud de propagación se desvanece pero no es cero, pero la causalidad se conserva ya que ninguna cantidad observable puede relacionarse a través de tales fenómenos. (¡Esa es una de las razones principales de la predicción teórica de la existencia de la antimateria!). En una última nota, también destacaría que la relación familiar $$P^\mu=\left(mc\gamma,mv\gamma\right)$$ lo que le daría un impulso imaginario si $v=nc$con $n>1$no es respetado por partículas fuera de la capa que tienen energía arbitraria no relacionada con la relación de dispersión relativista especial clásica habitual, una partícula que "sigue" (en el sentido limitado de la mecánica cuántica) un camino FTL no sería observable. ¡Espero que eso cubra un poco los puntos de tu pregunta!

Resulta que tu intuición podría estar en el camino correcto. Como señalaron y publicaron recientemente físicos del calibre de Arkani Hamed y Freddy Cachazo, puede evitar el problema de hacer sus integrales de Feynmann fuera del caparazón, reemplazando los vértices con partículas en el caparazón de momentos y coordenadas complejos . Existe la conjetura de que este reemplazo es físicamente equivalente a todos los pedidos, pero que yo sepa, aún no hay pruebas.

Esto, por supuesto, es una herramienta de cálculo y harías bien en no dar demasiado peso a la interpretación de la compleja extensión del espacio-tiempo que recorren estas integrales. La interpretación actual es que la extensión compleja es un síntoma de la equivalencia entre las integrales fuera de la capa y la no localidad del espacio-tiempo.