Derivando la igualdad δΓ[ϕc]δϕc(x)=0=⟨0|δS[ϕ,J]δϕ(x)|0⟩δΓ[ϕc]δϕc(x)=0=⟨0|δS[ϕ,J] δϕ(x)|0⟩\frac{\delta \Gamma[\phi_c]}{\delta\phi_c(x)}=0=\langle 0|\frac{\delta S[\phi,J]}{\ delta\phi(x)}|0\rangle?

Lo que quieres mostrar no es ni interesante ni cierto. Generalmente tenemos eso

$$\frac{\delta \Gamma}{\delta \phi_c(x)} = -J_\phi(x),$$ dónde $J_\phi$es la fuente de corriente tal que $$\langle \phi(x)\rangle_{J_\phi} = \phi_c(x).$$ su ecualizador (1) es incorrecta, la ecuación de Schwinger-Dyson dice que $$\left\langle \frac{\delta S}{\delta \phi} + J \right\rangle_J = 0,\tag{1'}$$ que coincide con su eq. (1) sólo en el caso $J=0$.

La ecuación clásica del movimiento de$\Gamma$es$J_\phi = 0$, significado$\langle \phi(x)\rangle_0 = 0 = \phi_c(x)$en una teoría invariante de Lorentz, que no es una ecuación interesante, y en particular no depende de la forma de$S$por lo que no se puede relacionar directamente con la ecuación de Schwinger-Dyson.

La forma correcta de ver cómo$\Gamma$codifica la teoría cuántica completa "a un nivel clásico" no es calcular ecuaciones de movimiento. La teoría cuántica no se ocupa de la evolución temporal de un campo clásico, no tiene sentido esperar la ecuación clásica de movimiento de$\Gamma$para codificar la dinámica de la teoría cuántica. En cambio, la siguiente relación se cumple:

$$\frac{Z[J]}{Z[0]} = \mathrm{e}^{\mathrm{i}W[J]} = \int \mathrm{e}^{\mathrm{i}/\hbar\left(S[\phi] + J\phi\right)}\frac{\mathcal{D}\phi}{Z[0]} = \mathrm{e}^{\mathrm{i}/\hbar\left(\Gamma[\phi_c] + J\phi_c\right)}\tag{3}.$$ Se podría decir que esto es algo trivial de la definición de $W$y $\Gamma$, y algo así es. El punto crucial es que la rhs es el valor clásico que domina la función de partición si se tomara $\Gamma$como una acción en sí misma, esa es la función de partición cuántica completa de$S$viene dada por el límite clásico de la función de partición cuántica de$\Gamma$. Es en este sentido que $\Gamma$es la "versión clásica" de $S$, no en el sentido de ecuaciones de movimiento.