¿Cómo probar que los espinores de Weyl se transforman como una representación del grupo de Lorentz?

En mis notas de clase de QFT, está escrito que los elementos del grupo de Lorentz se pueden escribir como

$$\begin{equation*} \Lambda = e^{i\vec{\theta}\cdot\vec{J} + i\vec{\eta}\cdot\vec{K}} \end{equation*}$$

dónde$\Big\{\vec{J}, \vec{K}\Big\}$son los generadores del álgebra de Lorentz.

Después de esto, escriben que los espinores de Weyl se transforman bajo una representación del grupo de Lorentz, como

$$\begin{equation*} \phi' = e^{i\frac{\vec{\sigma}}{2}\cdot\left(\vec{\theta} - i\vec{\eta}\right)}\phi \end{equation*}$$

Aquí como$\Big\{\frac{\vec{\sigma}}{2}, -i\frac{\vec{\sigma}}{2}\Big\}$de hecho satisface las relaciones de conmutación del álgebra de Lorentz, es de hecho una representación del álgebra de Lorentz$\Big\{\vec{J}, \vec{K}\Big\}$. Sin embargo, no todas las representaciones de álgebras de Lie conducen a una representación del grupo de Lie por exponenciación. Entonces, para el caso del espinor de Weyl, ¿cómo podemos mostrar que la regla de transformación es de hecho una representación del grupo de Lorentz?