¿En qué se diferencian los índices de espinor de los índices de espacio-tiempo o de Lorentz?

La mayor parte de lo que escribo ya está escrito en las otras respuestas/comentarios, pero tal vez lo siguiente te ayude:

cuando hablas de$SU(2)$Spinor-Transformaciones, creo que hablas de Spinors no relativistas (?) (de lo contrario, debería ser$SL_2(\mathbb{C})$), por lo que no debe verlo como un subgrupo de$\mathcal{L}^{\uparrow}_+$, como mucho,$\mathcal{L}^{\uparrow}_+ \subset SL_2(\mathbb{C})$. O, en tu caso (si mi hipótesis es correcta),$SO(3) \subset SU(2)$.

Lo importante es que en cualquier caso estamos ante la doble cobertura$f: SU(2) \to SO(3)$(o la del grupo de Lorentz). Ahora bien, la representación bajo la cual se transforma un Spinor es, por la definición misma de un Spinor, una que es una representación de$SU(2)$, decir,$\rho: SU(2) \to GL(\mathbb{C}^4)$que no es digno de una representación de$SO(3)$. Sin embargo, es decente para una representación proyectiva, es decir, de "doble valor" de$SO(3)$. En el contexto de la mecánica cuántica, esto no es un problema ya que ambos dan el mismo estado. Sin embargo, si no está trabajando dentro de un espacio proyectivo, no puede hablar de un Lorentz (o$SO(3)$) transformación del campo/partícula$\zeta$, y por lo tanto estás obligado a verlo como una transformación dada por la doble cubierta.

Matemáticamente, como se indica en los comentarios, esto equivale a considerar a los espinores como secciones del paquete vectorial asociado a la estructura de espín y la representación, es decir,$\zeta \in \Gamma(P_{SU(2)}(M) \times_{\rho} \mathbb{C}^4)$dónde$M$es un$3$Variedad riemanniana orientada dimensional dotada de una estructura de espín (obsérvese que$Spin(3) \cong SU(2)$, mientras$Spin(1,3) \cong SL_2(\mathbb{C})$). (Tal vez, en un lenguaje más familiar,$\zeta' = \rho(A) \zeta$, dónde$\zeta'$es el Spinor después de la transformación$B = f(A) \in SO(3)$,$A \in SU(2)$). Si se ''transformara bajo la Transformación de Lorentz'' (o$SO(3)$en nuestro contexto) sería un Elemento de$\Gamma(P_{SO(3)}(M) \times_{\Lambda} \mathbb{C}^4)$dónde$\Lambda: SO(3) \to GL(\mathbb{C}^4)$es su representación de elección.

Esto realmente parece una gran exageración, y hacerlo más preciso ciertamente exagera aún más, y realmente es solo una pequeña elaboración de lo que ya está escrito en los comentarios y las otras respuestas.

Finalmente, para responder a su pregunta: los diferentes índices indican los diferentes paquetes de vectores (equivalentemente: el Grupo de simetría diferente y la representación correspondiente diferente) que mencioné anteriormente, al menos eso es lo que creo ...

Aunque el grupo de Lie es el mismo, las representaciones no son las mismas. Los grupos de mentira vienen en diferentes representaciones irreductibles . El 4-vector de espacio-tiempo es una representación de espín-1, mientras que los espinores están en una representación de espín-1/2.

Piensa en el espacio de Hilbert. Por ejemplo, en el caso más simple, el correcto es un producto tensorial (ni siquiera necesita una estructura de conjunto de vectores aquí) del espacio-tiempo euclidiano y el espacio espinor.

El grupo de simetría correspondiente es entonces un producto directo del grupo de simetría (puede considerar Lorentz o Poincaré) que describe las transformaciones que viven en el espacio-tiempo, y un grupo SU(2) que describe las transformaciones que viven en el espacio espinoral. Por lo tanto, los índices deben considerarse por separado.

No se trata de representaciones: el grupo de simetría es más grande y, si se habla de repetición, se debe hablar de la repetición del nuevo grupo.