Partícula cuántica neutra en campo magnético no homogéneo

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Partícula cuántica neutra en campo magnético no homogéneo

Ruslán

Estoy tratando de entender el experimento de Stern-Gerlach a nivel computacional. Supongamos que tenemos una partícula neutra con momento magnético (por ejemplo, un neutrón) y le aplicamos un campo magnético no homogéneo (dejemos que cambie linealmente con la coordenada). Según tengo entendido, su hamiltoniano se vería así:

\hat{H} = - \frac{ℏ^{2}}{2 metro} \nabla^{2} + (\frac{mi}{metro C}) \hat{\vec{s}} \vec{B}

$\hat H=-\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2+\left(\frac e{mc}\right)\hat{\vec s}\vec B$

Ahora el operador de giro es

{\hat{s}}_{i} = \frac{ℏ}{2} σ_{i},

$\hat s_i=\frac{\hbar}2\sigma_i,$

dónde $\sigma_i$ es $i$ ª matriz de Pauli .

Entonces, para el campo magnético $\vec B=\vec e_x B_0 x$ tendríamos la ecuación de Schrödinger 1D (las direcciones Y y Z se pueden separar debido a la simetría de traducción):

- \frac{ℏ^{2}}{2 metro} \frac{\partial^{2} ψ}{\partial X^{2}} + (\frac{ℏ mi}{2 metro C}) σ_{X} B_{0} X ψ = i ℏ \frac{\partial ψ}{\partial t} .

$-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2\psi}{\partial x^2}+\left(\frac {\hbar e}{2mc}\right)\sigma_x B_0 x\psi=i\hbar \frac{\partial\psi}{\partial t}.$

Ahora trato de resolver esta ecuación numéricamente, tomando la función de onda inicial de la siguiente forma:

ψ (X, t = 0) = (\begin{matrix} ψ_{0} (X) \\ ψ_{0} (X) \end{matrix}),

$\psi(x,t=0)=\begin{pmatrix}\psi_0(x)\\ \psi_0(x)\end{pmatrix},$

dónde $\psi_0(x)$ es un paquete de ondas gaussianas con impulso promedio cero.

Los problemas comienzan cuando selecciono $\sigma_x$ como suele darse:

σ_{X} = (\begin{matrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix}) .

$\sigma_x=\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}.$

La solución parece verse como se muestra a continuación. Es decir, ¡ambos componentes de la función de onda aceleran hacia la izquierda!

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Pensé, ¿y si elijo otro eje como $x$ , así que intenté hacer lo mismo con $\sigma_y$ :

σ_{y} = (\begin{matrix} 0 & - i \\ i & 0 \end{matrix}) .

$\sigma_y=\begin{pmatrix}0&-i\\i&0\end{pmatrix}.$

El resultado en la animación de abajo. Ahora es un poco mejor: la función de onda al menos se divide en dos partes, una hacia la izquierda y otra hacia la derecha. Pero aún así, ambas partes se componen de una mezcla de estados de giro hacia arriba y hacia abajo, por lo que no es realmente lo que uno esperaría del experimento de Stern-Gerlach.

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Finalmente, probé la última opción: usar $\sigma_z$ :

σ_{z} = (\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & - 1 \end{matrix}) .

$\sigma_z=\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}.$

El resultado se muestra nuevamente a continuación. Finalmente, obtengo la división en partes de giro "independientes", es decir, una parte de giro va a la izquierda, otra va a la derecha.

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Ahora, la pregunta : ¿cómo interpretar estos resultados? ¿Por qué la elección del eje activo da como resultado diferencias tan drásticas en los resultados? ¿Cómo debería haberlo hecho para obtener resultados significativos? ¿No debería la permutación de las matrices de Pauli afectar los resultados?

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robar · Answer 1

Voy a hacer algunos cambios cosméticos a tu ecuación:

Su campo magnético debe ser $\vec B = \vec e_x B_0 x/x_0$ , de modo que $\vec B$ y $B_0$ tienen las mismas dimensiones. Este campo no obedece $\vec\nabla\cdot\vec B=0$ , pero dejaremos eso solo por ahora.
Escribiré $\mu \vec\sigma\cdot\vec B$ por la energía magnética. Observe que el momento magnético del neutrón es bastante pequeño, alrededor de 50 neV/T. Los llamados neutrones "ultrafríos", con energías por debajo de unos 100 neV, pueden ser confinados por un mínimo de campo magnético, pero para los neutrones fríos o térmicos ~meV, la dirección de Stern-Gerlach es generalmente insignificante. (Si no fuera insignificante, podría usar la separación de Stern-Gerlach para convertir un haz de neutrones en dos haces polarizados que van en diferentes direcciones; por desgracia, todos los polarizadores de neutrones reales absorben un estado de espín).
Tu ecuación de movimiento también es separable en el tiempo, así que solo consideraré la parte espacial; podemos agregar un factor de $e^{-i\omega t}$ más tarde.
voy a usar $\phi$ y $\chi$ para dar nombres separados a los dos componentes de su espinor.

En notación matricial, su ecuación de Schrödinger independiente del tiempo es

(\begin{array}{cc} \frac{- ℏ^{2}}{2 metro} \partial_{X}^{2} & \frac{m B_{0} X}{X_{0}} \\ \frac{m B_{0} X}{X_{0}} & \frac{- ℏ^{2}}{2 metro} \partial_{X}^{2} \end{array}) (\binom{ϕ}{x}) = mi (\binom{ϕ}{x}) .

$\left(\begin{array}{cc} \frac{-\hbar^2}{2m}\partial_x^2 & \frac{\mu B_0 x}{x_0} \\ \frac{\mu B_0 x}{x_0} & \frac{-\hbar^2}{2m}\partial_x^2 \end{array}\right) {\phi\choose\chi} = E {\phi\choose\chi}.$

Esto hace que sea un poco más obvio lo que está sucediendo. Cuando definió su conjunto inicial para tener $\phi = \chi = \psi_0(x)$ , establece su sistema en un estado propio de $\sigma_x$ ! Entonces, por supuesto, todo el conjunto se mueve junto: ¡está polarizado a lo largo de la dirección del campo! Si su condición inicial es $\phi = -\chi$ , debería obtener un paquete moviéndose en la otra dirección.

cuando reemplazas $\sigma_x$ con $\sigma_{y,z}$ , está cambiando efectivamente la dirección del campo. Recuerda que la energía es $\mu\vec\sigma\cdot\vec B$ ; si el único término distinto de cero en este producto es $\sigma_y B_0 x/x_0$ , le está diciendo a su modelo que el campo varía en fuerza con $x$ pero puntos a lo largo del $y$ dirección. (Dado que esos campos obedecen $\vec\nabla\cdot\vec B=0$ , deberías preferirlas de todos modos). Así que en tu segunda y tercera figura estás poniendo una $x$ muestra polarizada en un campo a lo largo $y$ o a lo largo $z$ , y se separa. La separación es a lo largo de la dirección del gradiente de intensidad de campo, en lugar de a lo largo de la dirección del campo; los tramperos de la UCN hablan de "buscadores de campo fuerte" y "buscadores de campo débil".

En el campo apuntando a lo largo $z$ , su muestra se separa en su base de espinor, lo que le da los bonitos colores.

En el campo apuntando a lo largo $y$ , su muestra aún se separa. Pero en lugar de separarse en el $\phi,\chi$ base que está utilizando para los colores, los estados diagonales son $\phi\pm i\chi$ . Esto genera interferencia cuando los dos paquetes de ondas se superponen.

Vaya, esto es interesante. ¿Podría explicar por qué la configuración $\phi=\chi$ hace que la función de onda sea un estado propio de $\sigma_x$ ? Pensé que sería un estado propio si configuro, por ejemplo $\chi=0, \phi\ne0$ .
Tarea: demostrar que los vectores propios de $\sigma_x$ son $(1,±1)$ , y que los vectores propios de $\sigma_y$ son $(1,±i)$ . Encuentre los vectores propios de $\sigma_z$ . :-)
OK, parece que empiezo a entenderlo. Pero, ¿por qué se separa en base de espinor para $z$ -campo dirigido, pero no para $y$ -dirigido? ¿No debería ser lo mismo, porque podríamos rotar el marco de referencia alrededor $\vec e_x$ mientras cambia $y$ -campo a $z$ -campo y no han cambiado nada?
Ah, parece que entiendo: esta diferencia no es medible: la densidad de probabilidad de los electrones no cambia, por lo que este no es un problema real.
Creo que estoy de acuerdo contigo: la única razón por la que la respuesta al campo a lo largo $z$ se ve especial es que por casualidad elegiste el $z$ eje para su representación.

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Ruslán

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