Soporte fermiónico de Poisson

Question

Soporte fermiónico de Poisson

Física
fermiones
corchetes de poisson
dinámica restringida
formalismo hamiltoniano
teoría clásica del campo

SCFT

Me gustaría entender el corchete de Poisson para fermiones en la teoría de campos clásica definida en un cilindro (con coordenadas $(t,x)$ , $x$ siendo la dirección compacta) y propagándose en $T^n$ con métrica constante $G_{ij}$ (aunque $T^n$ probablemente no sea importante para la discusión aquí).

la acción es

S = \frac{i}{4 π} \int d t d X {GRAMO}_{i j} [ψ^{i} (\partial_{t} + \partial_{X}) ψ^{j} + {\bar{ψ}}^{i} (\partial_{t} - \partial_{X}) {\bar{ψ}}^{j}] .

$S = \frac{i}{4\pi}\int dt dx \,\,G_{ij} \left[ \psi^i(\partial_t + \partial_x)\psi^j + \bar{\psi}^i(\partial_t - \partial_x)\bar{\psi}^j\right] .$

A partir de esto, ¿cómo puedo dar una definición general del soporte de Poisson? Algunas restricciones al respecto deberían ser las siguientes:

Debe ser simétrico (ya que en el caso bosónico es antisimétrico).
Debería poder recuperar la relación estándar.
${ψ^{i} (t, X), ψ^{j} (t, X^{'})}_{PAG B} = - 2 π i {GRAMO}^{i j} d (X - X^{'})$ $\{\psi^i(t,x), \psi^j(t,x') \}_{PB} = -2\pi i G^{ij}\, \delta(x-x')$ de eso.

Una definición que parece funcionar es

{F, GRAMO} = - 2 π i \int d X {GRAMO}^{i j} (\frac{d F}{d ψ^{i}} \frac{d GRAMO}{d ψ^{j}} + \frac{d F}{d {\bar{ψ}}^{i}} \frac{d GRAMO}{d {\bar{ψ}}^{j}})

$\{F,G\} = -2\pi i \int dx\,\, G^{ij}\Big(\frac{\delta F }{\delta \psi^i } \frac{\delta G}{\delta \psi^j} + \frac{\delta F }{\delta \bar{\psi}^i } \frac{\delta G}{\delta \bar{\psi}^j}\Big)$

Sin embargo, si esto es correcto, me gustaría ver por qué en términos más generales.

También un corchete de Poisson en particular que estoy interesado en la informática es $\{(\partial_t - \partial_{x_1})\psi^i(x_1), \psi^j(x_2)\}$ que obtengo de la definición anterior para ser $2\pi i \frac{\partial}{\partial x_1} \delta(x_1 - x_2)$ . ¿Es esto sensato?

Editar: como referencia, estoy mirando el Apéndice A en el siguiente artículo de Kapustin y Orlov:

http://arxiv.org/abs/hep-th/0010293

y tratando de verificar los corchetes de Poisson en la ecuación. (48).

Respuestas (1)

Soporte fermiónico de Poisson

qmecanico · Answer 1

El soporte de super-Poisson se deriva de una superversión del procedimiento de Dirac-Bergmann o Faddeev-Jackiw. Se debe tener cuidado diligente para lograr convenciones de signos consistentes cuando se trata de variables impares de Grassmann, consulte, por ejemplo, mi respuesta Phys.SE aquí .

La transformación singular de Legendre para fermiones también se analiza en mi respuesta Phys.SE aquí . En el caso de OP [que es la parte fermiónica de la ec. (44) en Ref.1], la densidad lagrangiana dice

\begin{matrix} (1) & L = \frac{i}{4 π} {GRAMO}_{i j} [ψ^{i} {\dot{ψ}}^{j} + {\bar{ψ}}^{i} {\dot{\bar{ψ}}}^{j}] - H, \end{matrix}

$\tag{1} {\cal L}~=~ \frac{i}{4\pi} G_{ij}\left[\psi^i \dot{\psi}^j + \bar{\psi}^i \dot{\bar{\psi}}^j\right]-{\cal H},$

donde hemos identificado la densidad hamiltoniana

\begin{matrix} (2) & H = \frac{i}{4 π} {GRAMO}_{i j} [ψ^{i} \partial_{X} ψ^{j} - {\bar{ψ}}^{i} \partial_{X} {\bar{ψ}}^{j}] . \end{matrix}

$\tag{2} {\cal H}~=~ \frac{i}{4\pi} G_{ij}\left[\psi^i \partial_x\psi^j - \bar{\psi}^i \partial_x\bar{\psi}^j\right].$

El potencial simpléctico de una forma se puede transcribir del término cinético en (1):

\begin{matrix} (3) & ϑ (t) = \frac{i}{4 π} \int d X {GRAMO}_{i j} [ψ^{i} (X, t) d ψ^{j} (X, t) + {\bar{ψ}}^{i} (X, t) d {\bar{ψ}}^{j} (X, t)], \end{matrix}

$\tag{3} \vartheta(t) ~=~\frac{i}{4\pi}\int\! dx~G_{ij}\left[ \psi^i(x,t)~\mathrm{d}\psi^j(x,t) + \bar{\psi}^i(x,t) ~\mathrm{d}\bar{\psi}^j(x,t)\right],$

dónde $\mathrm{d}$ denota la derivada exterior en infinitas dimensiones. La forma simpléctica de dos es entonces

ω (t) = d ϑ (t) = \frac{i}{4 π} \int d X {GRAMO}_{i j} [d ψ^{i} (X, t) \land d ψ^{j} (X, t) + d {\bar{ψ}}^{i} (X, t) \land d {\bar{ψ}}^{j} (X, t)]

$\omega(t)~=~\mathrm{d}\vartheta(t) ~=~\frac{i}{4\pi}\int\! dx~G_{ij}\left[ \mathrm{d}\psi^i(x,t)\wedge\mathrm{d}\psi^j(x,t) +\mathrm{d}\bar{\psi}^i(x,t) \wedge\mathrm{d}\bar{\psi}^j(x,t)\right]$

\begin{matrix} (4) & = \frac{i}{4 π} \int d X d y {GRAMO}_{i j} d (X - y) [d ψ^{i} (X, t) \land d ψ^{j} (X, t) + d {\bar{ψ}}^{i} (X, t) \land d {\bar{ψ}}^{j} (X, t)] . \end{matrix}

$\tag{4} ~=~\frac{i}{4\pi}\int\! dx~dy~ G_{ij}~ \delta(x-y) \left[ \mathrm{d}\psi^i(x,t)\wedge\mathrm{d}\psi^j(x,t)+\mathrm{d}\bar{\psi}^i(x,t)\wedge\mathrm{d}\bar{\psi}^j(x,t)\right].\qquad$

El corchete de super-Poisson /Dirac de tiempos iguales en campos fundamentales es la supermatriz inversa de la supermatriz para la forma simpléctica de dos (4):

\begin{matrix} (5) & {ψ^{i} (X, t), ψ^{j} (y, t)}_{PAG B} = \frac{2 π}{i} ({GRAMO}^{- 1})^{i j} d (X - y) = {{\bar{ψ}}^{i} (X, t), {\bar{ψ}}^{j} (y, t)}_{PAG B}, \end{matrix}

$\tag{5} \{\psi^i(x,t), \psi^j(y,t)\}_{PB}~=~ \frac{2\pi}{i}(G^{-1})^{ij} ~\delta(x-y)~=~\{\bar{\psi}^i(x,t), \bar{\psi}^j(y,t)\}_{PB},$

y otros brackets súper-Poisson fundamentales desaparecen. El soporte de super-Poisson de igual tiempo decía

\begin{matrix} (6) & {F (t), GRAMO (t)} = \frac{2 π}{i} \int d X ({GRAMO}^{- 1})^{i j} [\frac{d_{R} F (t)}{d ψ^{i} (X, t)} \frac{d_{L} GRAMO (t)}{d ψ^{j} (X, t)} + \frac{d_{R} F (t)}{d {\bar{ψ}}^{i} (X, t)} \frac{d_{L} GRAMO (t)}{d {\bar{ψ}}^{j} (X, t)}] \end{matrix}

$\tag{6}\{F(t),G(t)\} ~=~ \frac{2\pi}{i}\int \! dx (G^{-1})^{ij}\left[\frac{\delta_R F(t)}{\delta \psi^i(x,t)} \frac{\delta_L G(t)}{\delta \psi^j(x,t)}+\frac{\delta_R F(t)}{\delta \bar{\psi}^i(x,t)} \frac{\delta_L G(t)}{\delta \bar{\psi}^j(x,t)} \right]\qquad$

para funciones arbitrarias de igual tiempo $F(t)$ y $G(t)$ . Aquí los subíndices $L$ y $R$ se refieren a la diferenciación de izquierda y derecha, respectivamente.

Referencias:

A. Kapustin y D. Orlov, arXiv:hep-th/0010293 .

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