Relaciones de conmutación inconsistentes con restricciones

Question

Relaciones de conmutación inconsistentes con restricciones

Física
conmutador
corchetes de poisson
dinámica restringida
formalismo lagrangiano
formalismo hamiltoniano

AFG

En la sección $9.5$ de Weinberg's Lectures on Quantum Mechanics, utiliza un ejemplo para explicar la clasificación de las restricciones. El Lagrangiano para una partícula no relativista que está restringida a permanecer en una superficie descrita por

\begin{matrix} (1) & F (\vec{X}) = 0 \end{matrix}

$f(\vec x)=0\tag{1}$

se puede tomar como

\begin{matrix} (2) & L = \frac{1}{2} metro {\dot{\vec{X}}}^{2} - V (\vec{X}) + λ F (\vec{X}) . \end{matrix}

$L=\frac 12 m \dot{\vec x}^2-V(\vec x)+\lambda f(\vec x).\tag{2}$

Además de la restricción principal $(1)$ también hay una secundaria, que surge de la imposición de que $(1)$ se satisface durante la dinámica

\begin{matrix} (3) & \dot{\vec{X}} \cdot \vec{\nabla} F (\vec{X}) = 0. \end{matrix}

$\dot {\vec x}\cdot\vec \nabla f(\vec x)=0.\tag{3}$

Luego afirma que imponer $[x_i,p_j]=i\hbar\delta_{ij}$ sería incompatible con las restricciones $(1)$ y $(3)$ (que dice $\vec{p}\cdot\vec{\nabla}f=0$ en el formalismo hamiltoniano). ¿Cómo puedo ver esta inconsistencia?

Respuestas (2)

Relaciones de conmutación inconsistentes con restricciones

anomalía quiral · Answer 1

¿Bastaría con un ejemplo? Si es así, considere el caso $f(\vec x) = x_1$ . Entonces (1) dice $x_1=0$ , que ya es inconsistente con la relación de conmutación, y (3) dice $p_1=0$ , que nuevamente es inconsistente con la relación de conmutación. Si $x_1$ o $p_1$ es cero, entonces no podemos tener $[x_1,p_1]\neq 0$ .

qmecanico · Answer 2

Por un lado,

0 = [0, 0] = [F (X), \vec{pag} \cdot \vec{\nabla} F] = i ℏ (\vec{\nabla} F)^{2} .

$0~=~[0,0]~=~[f(x),\vec{p}\cdot\vec{\nabla}f]~=~i\hbar (\vec{\nabla}f)^2.$ Por otro lado, una función de restricción

f

$f$ normalmente satisface una condición de regularidad

{\vec{\nabla} F |}_{F = 0} \neq \vec{0} .

$\left .\vec{\nabla}f \right|_{f=0}~\neq~\vec{0}.$

Relaciones de conmutación inconsistentes con restricciones

AFG

Respuestas (2)

anomalía quiral

qmecanico

Restricciones no holonómicas en la teoría de Dirac-Bergmann

Formalismo canónico en coordenadas de cono de luz

Construcción de Lagrangiano a partir de Hamiltoniano para fermiones de Majorana

Relaciones de conmutación canónicas en coordenadas canónicas arbitrarias

Estructura hamiltoniana de la electrodinámica de Chern Simons

Enfoque basado en principios para llegar al hamiltoniano geodésico H=gμνpμpνH=gμνpμpνH = g^{\mu \nu} p_\mu p_\nu?

Sistemas hamiltonianos sin un sistema lagrangiano correspondiente

¿Por qué ppp y qqq son variables independientes en el formalismo hamiltoniano?

¿Por qué se necesita la distribución delta transversal para los corchetes de Poisson de los componentes de campo EM clásicos?

¿Por qué el hamiltoniano es cero en relatividad?