Formalismo de Hamilton para espinores de Dirac

La densidad hamiltoniana para cualquier campo clásico viene dada por:

$$\begin{equation} \mathcal{H} = \pi \dot{\phi} - \mathcal{L} \end{equation}$$ dónde $\pi$es la densidad de momento canónica: $$\begin{equation} \pi(\mathbf{x},t) = \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{\phi}(\mathbf{x},t)} \end{equation}$$ En la mecánica clásica de partículas puntuales, los corchetes de Poisson para dos funciones $f$y $g$se definen como: $$\begin{equation} \left\{f,g\right\}_{PB} = \frac{ \partial f}{\partial q_j} \frac{\partial g}{\partial p_j} - \frac{\partial f}{\partial p_j} \frac{\partial g}{\partial q_j} \end{equation}$$ dónde $q_j$son las coordenadas generalizadas y $p_j$son los momentos canónicos. Claramente: $$\begin{equation} \left\{q,p\right\}_{PB} = 1 \tag{1} \end{equation}$$ En teoría de campos, el corchete de Poisson para dos funcionales $f$y $g$en tiempos iguales se define como: $$\begin{equation} \left\{f(t),g(t)\right\}_{PB} = \int \mathrm{d}^3 \mathbf{x} \; \left(\frac{\delta f}{\delta \phi(\mathbf{x},t)} \frac{\delta g}{\delta \pi(\mathbf{x},t)} - \frac{\delta f}{\delta \pi(\mathbf{x},t)} \frac{\delta g}{\delta \phi(\mathbf{x},t)} \right) \end{equation}$$ Ahora, usando las reglas de diferenciación funcional, es fácil ver que: $$\begin{equation} \left\{\phi(\mathbf{x},t),\pi(\mathbf{y},t)\right\}_{PB} = \delta^3(x-y) \end{equation}$$ que es la versión de campo clásica de la ecuación $(1)$.

Además, de acuerdo con la regla de cuantización de Dirac, podemos ir y venir entre la mecánica clásica de partículas puntuales y la mecánica cuántica a través de la siguiente receta:

$$\begin{equation} \begin{array}{ccc} \text{classical mechanics} & \leftrightarrow & \text{quantum mechanics} \\ \displaystyle \left\{A,B\right\}_{PB} & \leftrightarrow & \displaystyle \frac{1}{i\hbar}\left[A,B \right] \end{array} \end{equation}$$ siempre que las cantidades que estamos considerando existan en el mundo clásico (por ejemplo, el espín de la mecánica cuántica no tiene un equivalente clásico y, por lo tanto, la regla no funciona). Para ir y venir entre la teoría clásica de campos y la formulación operacional de la teoría cuántica de campos, usamos la regla: $$\begin{equation} \begin{array}{ccc} \text{classical field theory} & \leftrightarrow & \text{quantum field theory} \\ \displaystyle \left\{A,B\right\}_{PB} & \leftrightarrow & \displaystyle \frac{1}{i\hbar}\left[A,B \right]_\mp \end{array} \end{equation}$$ donde el subíndice $-$significa el conmutador normal y es relevante para los campos bosónicos, y el $+$el subíndice implica el anticonmutador que es relevante para los campos fermiónicos (como el campo de Dirac).

El Lagrangiano clásico para el campo de electrones libres es,

$$L=\int d^{3}x(i\psi^{\dagger}\frac{\partial \psi}{\partial t}+i\psi^{\dagger}\alpha_{r}\frac{\partial \psi}{\partial x^{r}}-m\psi^{\dagger}\beta \psi) \ .$$ las q son $q^{i}(t)\rightarrow q^{(a,x)}\rightarrow \psi^{a}(t,x)$y entonces las velocidades son $\dot{q}^{i}(t)\rightarrow \frac{\partial \psi^{a}(t,x)}{\partial t}$. Variando las velocidades, $$\delta L= \int d^{3}x i\psi^{\dagger}\delta(\frac{\partial \psi}{\partial t})$$ muestra que la cantidad de movimiento conjugada - la $p_{i}(t)$- son $i\psi^{\dagger}$. El hamiltoniano clásico es, $$H=\int d^{3}x(-i\psi^{\dagger}\alpha_{r}\frac{\partial \psi}{\partial x^{r}}+m\psi^{\dagger}\beta\psi)$$ Los PB correspondientes a $[q^{i},p_{j}]_{PB}=\delta^{i}_{j}$son, $$[\psi^{a}(t,x),i\psi^{\dagger}_{b}(t,y)]_{PB}=\delta^{a}_{b}\delta(x-y)$$ La aplicación de la regla de cuantización de Dirac al PB anterior da al conmutador, $$[\psi^{a}(t,x),\psi^{\dagger}_{b}(t,y)]_{-}=\delta^{a}_{b}\delta(x-y)$$ y el $\psi$ahora son operadores. Sin embargo, si uno cuantifica el hamiltoniano clásico usando este conmutador, no hay estado fundamental, pero puede cuantificar el hamiltoniano clásico usando el anticonmutador, $$[\psi^{a}(t,x),\psi^{\dagger}_{b}(t,y)]_{+}=\delta^{a}_{b}\delta(x-y)$$ Parece que la dinámica cuántica del campo de electrones todavía va con los conmutadores. En la teoría clásica, $$\frac{\partial \psi}{\partial t}=[\psi,H]_{PB}$$ y aplicando la regla de cuantización de Dirac se obtiene, $$\frac{\partial \psi}{\partial t}=[\psi,H]_{-}$$ dónde $\psi$y $H$son operadores. Todo parece consistente porque al escribir la EoM cuántica directamente del hamiltoniano cuántico (cuantificado usando el anticonmutador), $$\frac{\partial \psi}{\partial t}=-i[\psi,H]_{-}$$ muestra que las dos últimas ecuaciones son idénticas. Tenga en cuenta que el $H$en la última ecuación está el hamiltoniano cuantizado que se ha cambiado del hamiltoniano clásico mediante el uso del anticonmutador, mientras que la H en la penúltima ecuación es el hamiltoniano clásico con todos los campos simplemente promovidos a operadores. Esta es mi comprensión de la noción del campo de electrones clásico, que proviene de la lectura de la sección 11 de las "Conferencias sobre la teoría cuántica de campos" de Dirac.