¿Los corchetes de Poisson de las restricciones de segunda clase son independientes de las coordenadas canónicas?

Su matriz de restricciones$C_{NM} = \{\chi_{N}, \chi_{M}\}_{P} \ $se define en todo el espacio de fase y es invertible en todas partes, pero no hay razón para que sea constante.

Quizás la forma más fácil de ver que el corchete de Dirac obedece a la identidad de Jacobi es notar que la identidad de Jacobi para el caso de los corchetes de Poisson se cumple porque la forma simpléctica es cerrada. Si$M$es el espacio de fase y miramos la subvariedad$M_s \subset M$seleccionado imponiendo las condiciones de segunda clase, entonces la forma que define el corchete de Dirac es el retroceso de la forma simpléctica a través de la incrustación$M_s \hookrightarrow M$y por lo tanto también está cerrado.

Dado un$2n$variedad simpléctica -dimensional$(M,\omega)$con soporte de Poisson correspondiente

$$\{\cdot,\cdot\}_{PB}~:~ C^{\infty}(M)\times C^{\infty}(M) \to C^{\infty}(M),$$

y subvariedad física

$$\Sigma~:=~\{ z\in M ~|~ \chi^{1}(z)~=~0, \ldots,\chi^{2m}(z)~=~0 \}~\subseteq~ M$$

definida por un conjunto de$2m$(por simplicidad definida globalmente) restricciones de segunda clase$\chi^1$,$\ldots$,$\chi^{2m}$. Aquí$m\leq n$. La condición de segunda clase es equivalente a que la matriz

$$\Delta^{ab}~:=~\{ \chi^{a} ,\chi^{b}\}_{PB}$$

restringido a (y por lo tanto en una vecindad abierta de) el subespacio físico$\Sigma$es una matriz invertible. Para responder a la pregunta de OP, la matriz$\Delta^{ab}$depende en general del punto$z\in M$y, en particular, no necesita ser constante. (Supongamos aquí, por simplicidad, que$\Delta^{ab}$es una matriz invertible globalmente en su conjunto$M$.)

El soporte de Dirac

$$\{\cdot,\cdot\}_{DB}~:~ C^{\infty}(M)\times C^{\infty}(M) \to C^{\infty}(M),$$

Se define como

$$\{f,g\}_{DB} ~:=~ \{f, g\}_{PB}-\{f, \chi^{a}\}_{PB} (\Delta^{-1})_{ab}\{ \chi^{b},g\}_{PB}.$$

El soporte de Dirac es una estructura de rango de Poisson no invertible$2(n-m)$en el espacio completo$M$.

Sobre la identidad de Jacobi para el corchete de Dirac

$$\{\{f,g\}_{DB},h\}_{DB} +\text{cycl.}(f,g,h) ~=~0,$$

es un hecho bastante notable que la identidad de Jacobi se mantiene fuertemente en el espacio completo$M$sin imponer las restricciones de segunda clase. Para todos los propósitos físicos, hubiera sido suficiente si la identidad de Jacobi solo tuviera restricciones de segunda clase de módulo débil, pero notablemente la construcción de Dirac produce una fuerte identidad de Jacobi en todo el espacio.$M$.

Además, OP podría encontrar interesante que el propio Dirac escribió en Ref. 1

[...] No conozco ninguna forma ordenada de probar la identidad de Jacobi para el [soporte de Dirac]. Si uno simplemente sustituye de acuerdo con la definición y lo resuelve de una manera complicada, encuentra que todos los términos se cancelan y el lado izquierdo es igual a cero. [...]

Referencias:

1. PAM Dirac, Lectures on Quantum Mechanics, (1964) p.42.