QFT Lagrangiano no relativista para fermiones

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QFT Lagrangiano no relativista para fermiones

Física
fermiones
dinámica restringida
formalismo lagrangiano
teoría cuántica de campos
formalismo hamiltoniano

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Tome el hamiltoniano ordinario de la mecánica cuántica no relativista expresado en términos de los campos de Fermi $\psi(\mathbf{x})$ y $\psi^\dagger(\mathbf{x})$ (según lo derivado, por ejemplo, por AL Fetter y D. Walecka en Quantum Theory of Many-particle Systems, página 19):

\hat{H} = \int {\hat{ψ}}^{†} (X) T (X) \hat{ψ} (X) d^{3} X

$\hat{H}~=~\int\hat\psi^\dagger(\mathbf{x})T(\mathbf{x})\hat\psi(\mathbf{x})d^3x$

\begin{matrix} (2.4) & + \frac{1}{2} \iint {\hat{ψ}}^{†} (X) {\hat{ψ}}^{†} (X^{'}) V (X, X^{'}) \hat{ψ} (X^{'}) \hat{ψ} (X) d^{3} X d^{3} X^{'} \end{matrix}

$+ \frac{1}{2}\iint\hat\psi^\dagger(\mathbf{x})\hat\psi^\dagger(\mathbf{x'})V(\mathbf{x},\mathbf{x'})\hat\psi(\mathbf{x'})\hat\psi(\mathbf{x})d^3xd^3x' \tag{2.4}$

El campo $\psi(\mathbf{x})$ y $\Pi(\mathbf{x})=i\psi^\dagger(\mathbf{x})$ ( $\hbar=1$ ) satisfacen las relaciones de cuantización canónicas habituales, pero si trato de construir un Lagrangiano como:

L = \int Π (X) d_{t} ψ (X) d X - H .

$L=\int\Pi(\mathbf{x})d_t\psi(\mathbf{x})d\mathbf{x}-H.$

Resulta que, porque:

d_{t} ψ (X) = - i T (X) ψ (X) - i \int ψ^{†} (X) V (X, X^{'}) ψ (X^{'}) ψ (X) d X^{'} .

$d_t\psi(\mathbf{x})=-iT(\mathbf{x})\psi(\mathbf{x}) - i\int\psi^\dagger(\mathbf{x})V(\mathbf{x},\mathbf{x'})\psi(\mathbf{x'})\psi(\mathbf{x})d\mathbf{x'}.$

Si combino ambas expresiones, el lagrangiano resulta ser cero (una prueba de la última ecuación se puede encontrar en Cuantización de campo de Greiner , capítulo 3, se puede derivar usando $[a,bc]=[a,b]_\mp c\pm b[a,c]_\mp$ ).

Mis preguntas son:

¿Qué hay de malo en esta derivación?

(Greiner logra sacar el hamiltoniano del lagrangiano pero hace unas integraciones por partes que da por obvias pero que para mi debería tener un término extra)

¿Cómo puedes derivar $\frac{d H}{d ψ} = - d_{t} Π$ $\frac{\delta H}{\delta\psi}=-d_t\Pi$ del hamiltoniano anterior? A partir de esta expresión, las ecuaciones de Euler-Lagrange se pueden derivar fácilmente, pero parece que no puedo encontrar la manera de obtenerlo.

Respuestas (2)

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qmecanico · Answer 1

Comentario a la pregunta (v4):

Clásicamente, el Lagrangiano para un sistema de fermiones dice
$\begin{matrix} (A) & L = \int d^{3} X i ψ^{†} \dot{ψ} - H . \end{matrix}$ $L ~=~ \int\! d^3x~ i\psi^{\dagger}\dot{\psi}-H.\tag{A}$
La transformación de Legendre del formalismo lagrangiano al hamiltoniano es complicada por al menos tres razones:
- El análisis tradicional de Dirac-Bergmann conduce a restricciones . Vea, por ejemplo, mis respuestas Phys.SE aquí y aquí .
- Al diferenciar wrt. Campos impares de Grassmann, hay que distinguir entre diferenciación $\frac{\delta_L}{\delta\psi}$ desde la izquierda y la diferenciación $\frac{\delta_R}{\delta\psi}$ desde la derecha Véase, por ejemplo, mi respuesta Phys.SE aquí o B. De Witt, Supermanifolds.
- ¿Cómo se puede tratar $\psi$ y $\psi^{\dagger}$ como variables independientes, si son conjugados hermitianos entre sí? La resolución es similar a esta publicación de Phys.SE.
Los corchetes de super-Poisson de igual tiempo dicen
$\begin{matrix} (B) & {ψ (X, t), ψ^{†} (y, t)}_{PAG B} = - i d^{3} (X - y) = {ψ^{†} (X, t), ψ (y, t)}_{PAG B}, \end{matrix}$ $\{\psi({\bf x},t), \psi^{\dagger}({\bf y},t)\}_{PB}~=~ -i \delta^3({\bf x}-{\bf y})~=~\{\psi^{\dagger}({\bf x},t), \psi({\bf y},t)\}_{PB},\tag{B}$ y otros brackets súper-Poisson fundamentales desaparecen.
Debido al principio de correspondencia QM , las relaciones canónicas de anticonmutación (CAR) son los corchetes de super-Poisson (5) multiplicados por $i\hbar$ :
$\begin{matrix} (C) & {\hat{ψ} (X, t), {\hat{ψ}}^{†} (y, t)}_{+} = ℏ d^{3} (X - y) \hat{1} = {{\hat{ψ}}^{†} (X, t), \hat{ψ} (y, t)}_{+}, \end{matrix}$ $\{\hat{\psi}({\bf x},t), \hat{\psi}^{\dagger}({\bf y},t)\}_{+} ~=~ \hbar\delta^3({\bf x}-{\bf y})\hat{\bf 1} ~=~\{\hat{\psi}^{\dagger}({\bf x},t), \hat{\psi}({\bf y},t)\}_{+},\tag{C}$ y otros CAR desaparecen.
Las ecuaciones de Hamilton leen
$\begin{matrix} (D) & \dot{ψ} \approx {ψ, H}_{PAG B} \overset{(B)}{=} - i \frac{d_{L} H}{d ψ^{†}}, {\dot{ψ}}^{†} \approx {ψ^{†}, H}_{PAG B} \overset{(B)}{=} - i \frac{d_{L} H}{d ψ} . \end{matrix}$ $\dot{\psi} ~\approx~\{ \psi, H\}_{PB}~\stackrel{(B)}{=}~-i\frac{\delta_L H}{\delta\psi^{\dagger}}, \qquad \dot{\psi}^{\dagger} ~\approx~\{ \psi^{\dagger}, H\}_{PB}~\stackrel{(B)}{=}~-i\frac{\delta_L H}{\delta\psi}.\tag{D}$
Lectura de las ecuaciones de movimiento de Heisenberg
$\begin{matrix} (MI) & i ℏ \partial_{t} \hat{ψ} \approx [\hat{ψ}, \hat{H}], i ℏ \partial_{t} {\hat{ψ}}^{†} \approx [{\hat{ψ}}^{†}, \hat{H}] . \end{matrix}$ $i\hbar\partial_t\hat{\psi}~\approx~[\hat{\psi}, \hat{H}], \qquad i\hbar\partial_t\hat{\psi}^{\dagger}~\approx~[\hat\psi^{\dagger}, \hat{H}].\tag{E}$

Gracias por la aclaración. Sin embargo, tengo dos preguntas sobre tu respuesta: 1) ¿Por qué el lagrangiano es como lo expresaste y no como lo hice yo? El campo y su transpuesta no satisfacen las relaciones canónicas de conmutación (carecen de una i en alguna parte). 2) ¿Puede dar una referencia para el punto 2? Estoy interesado en una definición formal de la diferenciación de la izquierda y la diferenciación de la derecha, ya que parecía ser un concepto problemático al tratar este tema.
Gracias, voy a mirar las referencias a ver si puedo aclarar algo. Por cierto, el título ha sido editado para decir que esto es para fermiones, pero no veo por qué mi pregunta no se aplicaría también a los bosones.
@recicle: Parece que, por varias razones, la publicación sería demasiado amplia si también incluyera bosones.

reciclar · Answer 2

Con respecto a la pregunta 2, en la página 295 de The Quantum Theory of Fields de Weinberg, el autor define la derivada funcional de un funcional bosónico arbitrario $F[q,p]$ :

\frac{d F [q, pag]}{d q} = i [pag, F [q, pag]]

$\frac{\delta F[q,p]}{\delta q}=i[p,F[q,p]]$

\frac{d F [q, pag]}{d pag} = i [F [q, pag], q]

$\frac{\delta F[q,p]}{\delta p}=i[F[q,p],q]$

dónde $q,p$ son un par de operadores que satisfacen relaciones canónicas de conmutación. Si ese es realmente el caso, entonces el resultado en la pregunta 2 se sigue directamente de esto. Weinberg dice que esta definición está motivada por el resultado de que, si $F[q,p]$ está escrito "con todo el $q$ s a la izquierda de todos $p$ S" entonces:

d F [q, pag] = \int d^{3} X (d q \frac{d F [q, pag]}{d q} + \frac{d F [q, pag]}{d pag} d pag)

$\delta F[q,p]=\int d^3 x \left( \delta q \frac{\delta F[q,p]}{\delta q} + \frac{\delta F[q,p]}{\delta p} \delta p\right)$

No sé mucho sobre diferenciación funcional y no he logrado pasar de esta ecuación a las dos anteriores. Si alguien puede explicar eso, resuelve la pregunta dos.

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