Significado físico de los marcos en la relatividad general

Question

Significado físico de los marcos en la relatividad general

Física
observadores
marcos de referencia
sistemas coordinados
relatividad general

Bence Racskó

A pesar de estudiar la teoría general durante bastante tiempo, esto todavía se me escapa.

La ecuación geodésica se puede expresar en la forma

metro \frac{d^{2} X^{m}}{d τ^{2}} = - metro Γ_{α β}^{m} \frac{d X^{α}}{d τ} \frac{d X^{β}}{d τ},

$m\frac{d^2x^\mu}{d\tau^2}=-m\Gamma^\mu_{\alpha\beta}\frac{dx^\alpha}{d\tau}\frac{dx^\beta}{d\tau},$ por lo que los coeficientes de conexión juegan el papel de una fuerza de 4. La naturaleza no tensorial de esta expresión se debe al hecho de que esta fuerza cuatripartita contiene esencialmente todas las "pseudofuerzas" de inercia, incluida la gravedad, por lo que depende del marco.

Está claro que esta ecuación relaciona la "coordenada-aceleración" con las fuerzas vistas por algún observador. La pregunta esencial es ¿qué tipo de observador ve la "fuerza gravitacional" de esta manera?

Quiero decir, en relatividad especial, para un marco de Lorentz global $(t,x,y,z)$ , este marco representa un observador en caída libre, cuyo "espacio" está descrito por las coordenadas cartesianas $x,y,z$ .

Cambiar a un sistema de coordenadas curvilíneas (solo en las variables espaciales) hace que esto sea menos aceptable, pero supongo que podemos emplear una perspectiva local: los vectores de coordenadas $\partial_i|_p$ son las "varas de medir" de un observador en $p$ . Pero, ¿y si también cambiamos la dirección de la coordenada del tiempo? ¿Qué significa eso?

Dado un sistema de coordenadas general en GR, ¿qué tipo de observador representa ese sistema de coordenadas en un punto determinado? $p$ ? ¿Cómo experimenta él o ella el "espacio" y el "tiempo" desde su perspectiva?

¿Qué pasa si usamos un marco ortonormal en lugar de un marco de coordenadas?

Nota: hago esta pregunta de manera algo más general, pero mi objetivo es poder decir cómo algunos observadores experimentan la fuerza gravitacional .

Por ejemplo, si describo la Tierra con una métrica de Schwarzschild (suponiendo que no haya rotación) y hay un observador en un punto fijo en la superficie de la Tierra, y una partícula se mueve libremente (por ejemplo, un proyectil disparado con algunas condiciones iniciales), yo quiero ser capaz de describir matemáticamente cómo este observador ve que la partícula se mueve y qué fuerza siente que está afectando a la partícula.

EDITAR:

Dado que mi pregunta es aparentemente confusa, intercalo que creo que mi pregunta sería respondida de manera incidental, si alguien me dijera cómo manejar el siguiente problema:

Dejar $(M,g)$ ser un espacio-tiempo donde $g=-a(r)dt^2+a(r)^{-1}dr^2+r^2(d\vartheta^2+\sin^2\vartheta d\varphi^2)$ es la métrica de Schwarzchild. La métrica de Schwarzchild es causada por un planeta de masa $M$ , cuya superficie se encuentra en $r=r_p$ .

En algún momento $(r_p,\vartheta_0,\varphi_0)$ y tiempo $t_0$ hay un observador. El observador está inmóvil con respecto al origen del sistema de coordenadas, por lo que sus posiciones espaciales están descritas por $(r_0,\vartheta_0,\varphi_0)$ todo el tiempo.

El observador lleva tres varillas de longitud unitaria, $\mathbf{e}_1,\mathbf{e}_2,\mathbf{e}_3$ satisfactorio $g(\mathbf{e}_i,\mathbf{e}_j)=\delta_{ij}$ como marco de referencia.

Supongamos que la línea de mundo de una partícula en caída libre cruza la línea de mundo del observador en un punto (para que el observador pueda hacer mediciones locales), supongo que la 3-velocidad que mediría el observador es simplemente $v^i=e^\mu_i\frac{dx^\nu}{d\tau}g_{\mu\nu}$ , ¿bien? Lo mismo para todas las cantidades 4-tensoriales.

Pero, ¿qué pasa con la fuerza gravitacional? Para calcular los coeficientes de conexión, uno debe conocer no solo el marco en un punto, sino también en una región alrededor del punto. Entonces, ¿cuál es la expresión matemática para describir cómo el observador detecta la fuerza que actúa sobre la partícula? ¿Cómo se relaciona con $\Gamma^\mu_{\alpha\beta}$ ?

Si disparé una bala de cañón desde la superficie de la tierra, ¿cómo podría usar GR para encontrar su (3-) trayectoria? ¿ La trayectoria de 3 que veo?

JMLCarter

La pregunta no está clara. Algo reacio a traer algunos principios básicos, ya que esto puede interpretarse como obvio, en lugar de una solicitud de aclaración de su dilema; 1) El principio de equivalencia es que localmente el espacio-tiempo aparece igual para cualquier observador en cualquier marco de referencia. La resistencia a los cambios de velocidad inducidos por la gravedad se experimenta como aceleración. Los sistemas de coordenadas son solo formas diferentes de describir la posición: no tienen impacto en las consecuencias físicas, sino en cómo se pueden derivar o medir.

JMLCarter

3) ¿Un observador distante ve la acción de las fuerzas como cambios (o resistencia a los cambios) en la velocidad? El ver un objeto en una geodésica estar en caída libre, lo que puede interpretarse clásicamente como atracción gravitacional, o relativistamente como la curvatura del espacio-tiempo.

Bence Racskó

@JMLCarter Nosotros, como observadores, experimentamos el tiempo y el espacio como cosas diferentes. Los fenómenos GR pueden ser independientes de las coordenadas, pero cuando hacemos mediciones, empleamos un punto de vista, que es un marco. Me molesta que se mucho sobre GR como teoría abstracta, pero si alguien me diera el ejercicio "Oye, disparemos una partícula de masa

m

$m$ a 3 velocidades iniciales

v

$\mathbf{v}$ , calcule su trayectoria usando GR en lugar de la gravedad newtoniana, no podría hacerlo.

mmesser314

Un observador en reposo en un marco en caída libre no siente la gravedad. Otro en reposo sobre la superficie de la Tierra sí lo hace. ¿Es esta una pregunta sobre lo que significa "en reposo"?

JMLCarter

@Uldreth Realmente no entendí eso de tu pregunta. Si desea un enlace a un ejemplo trabajado, lo pediría. Debe haber uno en alguna parte.

Bence Racskó

@JMLCarter Esperaba una discusión más general sobre cómo se relacionan los marcos y los observadores, pero es justo.

Bence Racskó

@ mmesser314 Es una pregunta sobre cómo describir cómo describir cómo un observador arbitrario "ve el espacio", incluida la forma en que observa 3 velocidades, 3 aceleraciones, 3 fuerzas.

JMLCarter

Si puede aclararlo hasta (una serie de) problemas específicos, es posible que tenga más suerte.

Bence Racskó

@JMLCarter Edité la pregunta con un problema específico.

Respuestas (2)

Significado físico de los marcos en la relatividad general

La pregunta no está clara. Algo reacio a traer algunos principios básicos, ya que esto puede interpretarse como obvio, en lugar de una solicitud de aclaración de su dilema; 1) El principio de equivalencia es que localmente el espacio-tiempo aparece igual para cualquier observador en cualquier marco de referencia. La resistencia a los cambios de velocidad inducidos por la gravedad se experimenta como aceleración. Los sistemas de coordenadas son solo formas diferentes de describir la posición: no tienen impacto en las consecuencias físicas, sino en cómo se pueden derivar o medir.
3) ¿Un observador distante ve la acción de las fuerzas como cambios (o resistencia a los cambios) en la velocidad? El ver un objeto en una geodésica estar en caída libre, lo que puede interpretarse clásicamente como atracción gravitacional, o relativistamente como la curvatura del espacio-tiempo.
@JMLCarter Nosotros, como observadores, experimentamos el tiempo y el espacio como cosas diferentes. Los fenómenos GR pueden ser independientes de las coordenadas, pero cuando hacemos mediciones, empleamos un punto de vista, que es un marco. Me molesta que se mucho sobre GR como teoría abstracta, pero si alguien me diera el ejercicio "Oye, disparemos una partícula de masa $m$ a 3 velocidades iniciales $\mathbf{v}$ , calcule su trayectoria usando GR en lugar de la gravedad newtoniana, no podría hacerlo.
Un observador en reposo en un marco en caída libre no siente la gravedad. Otro en reposo sobre la superficie de la Tierra sí lo hace. ¿Es esta una pregunta sobre lo que significa "en reposo"?
@Uldreth Realmente no entendí eso de tu pregunta. Si desea un enlace a un ejemplo trabajado, lo pediría. Debe haber uno en alguna parte.
@JMLCarter Esperaba una discusión más general sobre cómo se relacionan los marcos y los observadores, pero es justo.
@ mmesser314 Es una pregunta sobre cómo describir cómo describir cómo un observador arbitrario "ve el espacio", incluida la forma en que observa 3 velocidades, 3 aceleraciones, 3 fuerzas.
Si puede aclararlo hasta (una serie de) problemas específicos, es posible que tenga más suerte.

gj255 · Answer 1

Me gusta esta pregunta. Tengo entendido que un sistema de coordenadas general no corresponde necesariamente a las coordenadas medidas por cualquier observador físico. Sin embargo, ciertamente uno puede preguntarse: dado un observador, ¿a qué sistema de coordenadas corresponde?

Bueno, la coordenada de 'tiempo' de nuestro observador debe ser el tiempo adecuado a lo largo de su línea de palabra : esto es lo que nuestro observador mide físicamente como tiempo. Entonces, su vector base temporal es simplemente su 4-velocidad. Luego, en cualquier punto dado a lo largo de la línea de mundo del observador, podemos darle a nuestro observador tres vectores espaciales ortogonales entre sí y a la 4-velocidad. La métrica en un evento dado en la línea de palabras es simplemente la métrica de Minkowski.

Por supuesto, en cada punto a lo largo de la línea de tiempo, somos libres de rotar nuestros vectores base similares al espacio a voluntad. ¿Cuál es la elección física? Bueno, la línea de palabras de un observador no es una descripción completa de ese observador; también es necesario saber cómo gira el observador. Si exigimos que el observador no esté girando, entonces dada la elección de vectores base similares al espacio en un punto de la línea de tiempo, los vectores base en cualquier otro lugar están determinados por el transporte de Fermi-Walker . El hecho de que nuestros vectores base no sean transportados por Fermi-Walker es una medida de la medida en que nuestro marco está girando.

Así que ahora tenemos una base. $e_\alpha$ (que es ortonormal) definido en cada punto a lo largo de la línea de tiempo de nuestro observador, que corresponde a la base que nuestro observador usaría físicamente. Con esto, podemos determinar el valor de cualquier cantidad derivada del tensor que nuestro observador encontraría si tuviera que medirla. Si una partícula con cantidad de movimiento $p$ viniera volando, su energía medida sería $e_0^\mu p_\mu$ . Si las ondas de un campo electromagnético pasaran a través de ella, el campo eléctrico medido en el $x$ -la direccion seria $e_0^\mu e_1^\nu F_{\mu \nu}$ (hasta un cartel).

Pero, para llegar finalmente a la pregunta que nos ocupa, ¿qué pasa con el campo gravitatorio? ¿Qué mediría nuestro observador para esto? El problema es que el campo gravitacional experimentado por un observador depende de las derivadas de la métrica (en el sistema de coordenadas apropiado). Sin embargo, nuestra elección de base solo se define en la propia línea de tiempo y, por lo tanto, no sabemos cuáles son los componentes de la métrica fuera de la línea de tiempo, según nuestro observador.

Necesitamos invocar algo más de física.

En cualquier instante de tiempo, supón que estás parado a mi lado en la superficie de nuestro planeta, experimentando la fuerza de la gravedad. Yo, en cambio, acabo de dar un salto en el aire y estoy en la cúspide de mi trayectoria, instantáneamente en reposo; la gravedad para mí ha desaparecido. Ambos estamos de acuerdo en lo que llamamos 'tiempo', ya que nuestras 4 velocidades están de acuerdo. Para mí, un observador inercial, hay un sistema de coordenadas físicas definido en mi vecindad inmediata, coordenadas normales .

Físicamente, sin embargo, esperamos que ambos asignemos las mismas coordenadas espaciales a un punto dado en el espacio, en ese instante de tiempo. Por lo tanto, ahora tengo una buena definición de sus coordenadas: asigna las mismas coordenadas espaciales a un punto cercano en el espacio que un observador estacionario en caída libre (cuyos vectores de base similares al espacio están alineados con los suyos).

Con un sistema de coordenadas definido en la vecindad de su línea de tiempo, es muy sencillo calcular los componentes del tensor métrico en su sistema de coordenadas y, por lo tanto, sus derivadas parciales y, por lo tanto, ¡el campo gravitatorio!

Referencias: Relatividad general, Introducción para físicos; Hobson, Efstathiou y Lasenby; Cambridge; secciones 5.13 y 7.5.

Si encuentro tiempo más tarde, intentaré ilustrar cómo funciona esto para un observador en una posición fija. $(r,\theta,\phi)$ en el espacio-tiempo de Schwarzschild. ¡Por supuesto, estoy seguro de que valdría la pena intentarlo por ti mismo!

Gracias por su respuesta, seguramente intentaré algunos cálculos de prueba cuando tenga tiempo, pero por supuesto, me encantaría leer su ejemplo si tiene tiempo. Especialmente, que algo no está claro para mí. ¿Quiere decir que mis coordenadas espaciales están definidas por las coordenadas normales del observador en caída libre, pero mi coordenada de tiempo es diferente? Esto es lo único sensato para mí, de lo contrario, todos los coeficientes de conexión desaparecerían, pero aún siento la necesidad de preguntar, para mayor claridad.
Sí, eso es absolutamente correcto. Debería haber sido más claro: en un punto dado en la línea de mundo de nuestro observador, siempre podemos encontrar un marco inercial tal que en este punto, los vectores base del marco inercial y los vectores base del observador coincidan. El observador inercial puede entonces definir una 'hipersuperficie de tiempo constante' en la vecindad de este punto, y tomamos el tiempo medido por nuestro observador como constante sobre esta hipersuperficie también. Luego, en esta hipersuperficie, elegimos las coordenadas espaciales de nuestro observador para que sean las del marco inercial.

Juan Rennie · Answer 2

Para calcular la aceleración gravitacional, simplemente calcule la aceleración de cuatro :

\begin{matrix} (1) & A^{α} = \frac{d^{2} X^{α}}{d τ^{2}} + Γ_{m v}^{α} {tu}^{m} {tu}^{v} \end{matrix}

$A^\alpha = \frac{\mathrm d^2x^\alpha}{\mathrm d\tau^2} + \Gamma^\alpha_{\,\,\mu\nu}U^\mu U^\nu \tag{1}$

En su pregunta, menciona la ecuación geodésica, pero la ecuación geodésica describe al observador en caída libre, es decir, el observador para quien la aceleración de cuatro es cero. Y de hecho establecer $\mathbf A = 0$ en (1) nos da inmediatamente la ecuación geodésica:

\frac{d^{2} X^{α}}{d τ^{2}} = - Γ_{m v}^{α} {tu}^{m} {tu}^{v}

$\frac{\mathrm d^2x^\alpha}{\mathrm d\tau^2} = - \Gamma^\alpha_{\,\,\mu\nu}U^\mu U^\nu$

Entonces, al comenzar con la ecuación geodésica, comienza asumiendo que la aceleración es cero y nunca podrá calcular lo que desea.

La aceleración gravitacional $G$ sentido por un observador, es decir, la aceleración adecuada , es la norma de cuatro aceleraciones para ese observador:

{GRAMO}^{2} = {gramo}_{α β} A^{α} A^{β}

$G^2 = g_{\alpha\beta} A^\alpha A^\beta$

y dado que este es un escalar, podemos usar cualquier sistema de coordenadas conveniente para calcularlo. El ejemplo comúnmente utilizado por los estudiantes es un observador que flota a una distancia fija de una masa esférica, es decir, la geometría del espacio-tiempo es la geometría de Schwarzschild. Desde $u_r = u_\theta = u_\phi = 0$ la aceleración de cuatro es simplemente:

A = (0, \frac{GRAMO METRO}{r^{2}}, 0, 0)

$\mathbf A = (0, \frac{GM}{r^2}, 0, 0)$

Y la norma es entonces:

GRAMO = \frac{GRAMO METRO}{r^{2}} \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{2 GRAMO METRO}{C^{2} r}}}

$G = \frac{GM}{r^2}\frac{1}{\sqrt{1-\frac{2GM}{c^2r}}}$

Que es justamente la expresión newtoniana modificada por ese factor de $1/\sqrt{1-r_s/r}$ .

Creo que esto responde a mi pregunta (no completamente, pero al menos abrió una perspectiva útil que no consideré antes), así que gracias, sin embargo, me gustaría señalar que no dije que el observador satisface la ecuación geodésica. Mi observador es un observador de caparazón, y está observando una partícula que cae libremente. Me doy cuenta de que un observador en caída libre tiene una aceleración de cero 4, sin embargo, el observador (no geodésico) lo verá acelerar (si dejo caer una piedra, lo veo acelerar). Dicho esto, la aceleración real de 4 del observador es obviamente lo mismo que estoy buscando, que no consideré.
@Uldreth: Vaya, lo siento, sí. De todos modos, me alegro de que esto haya ayudado.
¿Qué pasa con la precesión del perihelio? Será esta fuerza $mG = \frac{GmM}{r^2}\frac{1}{\sqrt{1-\frac{2GM}{c^2r}}}$ crear el término de perturbación adicional como lo conocemos con $\frac{2 GmM 3 h^2}{r^4}$ ? lo dudo

Significado físico de los marcos en la relatividad general

Bence Racskó

JMLCarter

JMLCarter

Bence Racskó

mmesser314

JMLCarter

Bence Racskó

Bence Racskó

JMLCarter

Bence Racskó

Respuestas (2)

gj255

Bence Racskó

gj255

Juan Rennie

Bence Racskó

Juan Rennie

Eduardo

¿Qué es el "marco de referencia de una partícula" en la Relatividad General?

¿Cómo se relaciona un marco de referencia con los observadores y las cartas?

Interpretación del Tensor de Tensión-Energía y Polvo

¿Cómo se puede definir realmente una familia infinita de marcos de referencia de movimiento momentáneo (MCRF)?

¿Cómo se obtiene la dilatación del tiempo de g00g00g_{00} en general y de la métrica de Schwarzchild en particular?

Sistemas de referencia en Relatividad Especial y General

¿Se acelera el tiempo al orbitar un agujero negro? ¿Por qué? ¿Que significa eso?

Efecto de la gravedad a velocidades cercanas a la luz

Maximizando el tiempo cerca de un agujero negro

Si caes en un agujero negro, ¿cuándo pasas el horizonte de sucesos? [duplicar]