¿Son todas las paradojas reducibles a una paradoja "fundamental"?

Puede encontrar útil el libro de Graham Priest Los límites del pensamiento para refinar su pregunta. El sacerdote sostiene que

el pensamiento tropieza con verdaderas contradicciones cuando choca con sus propios límites

Así lo anotó Kant -sus famosas antinomias- que motivaron su proyecto crítico; sin embargo, Priest le da crédito a Hegel por decidir que las contradicciones son inevitables y su estructura subyacente.

El libro recorre una historia de límites ; y aboga por una tipología; límites de:

• expresión (Platón sobre algo inmutable como condición previa para el significado, Aristóteles sobre la materia prima, Cusanus sobre la inefabilidad de Dios)

• iteración (regresiones infinitas en Zenón, Aristóteles y Liebniz)

• cognición (el esceptismo de Sexto y el relativismo de Protágoras)

• concepción (argumento ontológico de Anselmo y argumento de inconcebibilidad de Berkeley para el idealismo).

En una dirección diferente, vale la pena señalar que se ha observado que algunas de las paradojas matemáticas de Cantor, Russell, Tarski, Turing y Godel se basan en un argumento similar, la diagonalización, que luego se convirtió en un argumento formal (bajo los auspicios de la teoría de categorías). ).

Las paradojas generalmente se pueden clasificar por sus características, pero no puede existir una paradoja que describa los componentes fundamentales de todas las demás paradojas. Realizaré una demostración por contradicción.

Supongamos que existe una paradoja fundamental que describe todas las demás. Eso implicaría que existe una paradoja que describe tanto paradojas binarias como paradojas infinitas. Esto por sí solo es una paradoja binaria, lo que significa que la paradoja fundamental también tendría que describirse a sí misma. Pero si se describe a sí mismo eso significa que no es una paradoja fundamental porque en sí mismo es una paradoja. Puedes continuar con este patrón una y otra vez hasta que te rindas.

Espero que esto ayude y comenten si cometí un error en la comunicación o en mis argumentos.

Un problema increíblemente fundamental que surge con las paradojas es el teorema de indefinibilidad de Tarski . Es un límite de los lenguajes formales. Establece que cualquier lenguaje formal que cumpla con un criterio particular no puede definir su propia semántica. Ese criterio es bastante amplio: ¡cualquier lenguaje formal que pueda describir la aritmética y tenga el operador de negación no puede definir su propia semántica! Las paradojas "famosas" suelen ser las que han recibido una atención matemática estricta, por lo que tienden a estar ya en una forma comparativamente formal.

Según un artículo de investigación al que se hace referencia a continuación, "muchas paradojas autorreferenciales, teoremas de incompletitud y teoremas de punto fijo caen del mismo esquema simple".

Los ejemplos presentados en el documento:

1. Teorema de Cantor de que N ℘(N)
2. la paradoja de russell
3. La indefinibilidad de la satisfacibilidad
4. La indefinibilidad de Tarski de la verdad y
5. El primer teorema de incompletitud de Gödel.

Consulte Un enfoque universal de las paradojas autorreferenciales, la incompletitud y los puntos fijos .

Una forma de describir una paradoja es que es una situación en la que dos de tus intuiciones entran en conflicto. Tienes muchas intuiciones y pueden entrar en conflicto sobre todo tipo de cosas, por lo que no hay razón para esperar que todas las paradojas puedan estar relacionadas entre sí.

En particular, una situación que se siente paradójica es tanto una declaración sobre su estado mental como una declaración sobre la situación. Puede descartar algunas intuiciones y refinar otras y luego descubrir que algo que solía parecer paradójico ya no lo es.

Las paradojas particulares que desea unir parecen compartir un aspecto desde un punto de vista lógico dado.

Desde un punto de vista 'intuicionista duro', nuestra construcción lingüística de la negación es incompleta. Brouwer los atribuye a nuestra dificultad para combinar dos tipos diferentes de distinción relacionados con el tiempo. Y no encajan bien.

Uno está relacionado con el conteo, la sucesión del tiempo, y el otro está relacionado con la continuidad, el 'flujo parejo' del tiempo. Del relacionado con el conteo se obtiene la Ley del Medio Excluido, todo es antes o después de este punto. Y del relacionado con la continuidad obtenemos la noción de completitud, que siempre puedes mirar más de cerca y ver más cosas, pero lo que ves no contradirá lo que ya has visto desde un punto de vista menos completo. Estos se contradicen inherentemente, pero no podemos verlo claramente, y vemos paradojas cuando tenemos que elegir solo uno de ellos.

La paradoja de Zeno es el ejemplo más claro de cómo no encajan entre sí, descontamos las subdivisiones del espacio, ya que nuestra intuición del espacio llena naturalmente todos los vacíos, y nos preguntamos si se debe o no dejar que el proceso termine. Los problemas con el uso desenfrenado de infinitesimales son solo la Paradoja de Zenón generalizada. Tenemos que aceptar la continuidad sobre la iteración, y eso no nos sienta bien. Cantor nos da una idea de por qué. Pero realmente no podemos mantenerlo en orden en nuestras cabezas.

La paradoja de Russell se trata más de mirar hacia afuera que hacia adentro, pero desde un punto de vista intuitivo, el hecho de que siempre podamos encontrar un conjunto para envolver cualquier conjunto dado es dividir el infinito de la misma manera que Zeno divide una distancia finita. Crea un mundo que se multiplica sin límites, que al igual que el continuo, 'presuntamente llena' todos los vacíos dejados por cualquier distinción. Luego intentamos aplicar la Ley del Tercero Excluido a cada distinción, todo a la vez. Y fallamos.

Nuestra noción básica de implicación también implica intrínsecamente la negación. Nos gusta la idea de que A -> B <=> B v ~A. Pero esta noción nos lleva a paradojas como "Si esta afirmación es cierta, entonces Santa Claus la dijo primero". Nuestro deseo de tener LEM entra en conflicto con nuestro deseo de que todas las afirmaciones sean verdaderas o falsas, y esta es ambas o vacía.

Etc.

Pero la negación no es la única fuente de confusión en la lógica clásica. Hay otros conceptos igualmente débiles que capturan de manera incompleta otras intuiciones.

Nuestra comprensión de lo que puede y no puede compararse, y por qué, es algo débil. Tenemos un sesgo hacia la idea de que cualquier pedido parcial produce fácilmente un pedido total. Esto nos hace imaginar que el Dilema del Prisionero debería tener la respuesta equivocada, y nos resistimos al Juego de Dados Intransitivos y la rareza relacionada en la forma en que se comportan las probabilidades.

Podemos ver cómo el primer número aburrido no sería aburrido, porque aclararía la naturaleza del aburrimiento, lo que lo haría menos aburrido. Tenemos un pedido parcial definido que no puede basar un pedido total. Y eso es molesto.

Infinity empeora esta situación, generándonos varios problemas éticos que involucran múltiples vidas e intentos de comparar diferentes pérdidas de vidas, lo que básicamente desafía nuestra intuición para encontrar reglas adicionales consistentes para ordenar proporciones de infinitos. Y el Axioma de Elección, que es equivalente a esta noción de que el orden existe o no, a través del Lema de Zorn, conduce directamente a la paradoja de Banach-Tarski sobre la mensurabilidad, el tamaño y la naturaleza de la solidez.

Juntando nuestros problemas con la probabilidad y la divisibilidad, la estadística, que es una probabilidad infinitamente divisible, crea su propia multitud de paradojas.

Así que diría que puede haber grandes clases de paradojas atribuibles a cualquier intuición débil específica, pero que hay al menos algunas fuentes de paradoja no relacionadas, y más allá de eso, surgen diferentes paradojas al combinar diferentes conjuntos de intuiciones débiles.

Una paradoja es una prueba de que tu forma de pensar sobre las cosas es demasiado ingenua o realmente mala, y deberías cambiarla si quieres darle sentido a las cosas anteriores. Hay un tipo especial de paradojas, llamadas "argumentos diagonales", que juegan un papel especial.

Los argumentos diagonales están ocurriendo básicamente cuando uno está enunciando una oración que "pide demasiado" e involucra alguna cuantificación universal. Se basa en el hecho de que si "todo es algo" es cierto, entonces es cierto que "todo es algo" también es algo. Los invito a reemplazar el algo anterior por algo subjetivo, sin sentido, relativo, falso o lo que quieran. Básicamente, la idea del argumento diagonal es aplicar una idea a sí mismo, y en realidad es una muy buena verificación de la coherencia. En este sentido, el subjetivismo o el nihilismo claramente no son admisibles en diagonal, mientras que la verdad clásica ingenua sí lo es.

Ahora bien, no todas las paradojas son así. Por ejemplo, definitivamente se debe diferenciar entre una antinomia (lo que es verdadero y falso al mismo tiempo) y una paradoja (lo que va en contra de la intuición). En cualquier caso, no se debe pensar que las paradojas son cosas contra las que no se puede hacer nada. Por ejemplo, la lógica lineal es una lógica de cantidad/información. Allí, algunas verdades son temporales tales que lo que es verdad en algún punto no necesariamente lo es en el otro. En particular, la implicación lineal A -> B debe entenderse como "dado A, se transforma en B": comienzas con A y terminas con B, pero perdiste A en el proceso. En este marco, la paradoja del mentiroso se convierte en un enunciado válido, pero es cíclico. En efecto, si A = "Miente cuando dice que miente", y B = "

Lo mismo sucedería si uno pudiera tener una lógica formal con memoria (por lo tanto, no conmutativa como la mecánica cuántica) para la paradoja del prisionero: simplemente detiene el razonamiento en ese punto, pero la conclusión cambiaría si lo rehace sabiendo tal información , y nunca terminará.

Tenga en cuenta que algebraicamente, uno siempre es libre de interpretar una paradoja como un punto fijo de la negación, pero no lo encuentro en absoluto esclarecedor.