¿Son necesarios los ejercicios para comprender el tema de un libro de texto de matemáticas?

Cuando estoy leyendo un libro de texto de matemáticas, tiendo a saltarme la mayoría de los ejercicios. Generalmente no me gustan los ejercicios, particularmente los artificiales. En cambio, me concentro en comprender las demostraciones de teoremas, proposiciones, lemas, etc.

A veces trato de probar un teorema antes de leer la demostración. A veces trato de encontrar una prueba diferente. A veces trato de encontrar un ejemplo o un contraejemplo. A veces trato de generalizar un teorema. A veces se me ocurre una pregunta y trato de responderla.

Creo que esos son buenos "ejercicios" para mí.

EDITAR Lo que creo que es un muy buen "ejercicio" es el siguiente:

(1) Trate de probar un teorema antes de leer la prueba.

(2) Si no tienes idea para probarlo, échale un vistazo a la prueba.

(3) Continuar tratando de demostrarlo.

(4) Cuando esté atascado, eche un vistazo a la prueba.

(5) Repite (3) y (4) hasta que encuentres una prueba.

EDITAR Otro método que recomiendo en lugar de hacer ejercicios de "tipo tarea": ​​intenta escribir un "libro de texto" sobre el tema. No tienes que escribir uno real. Traté de hacer esto en la teoría de Galois. De hecho, publiqué "notas de clase" sobre la teoría de Galois en un foro de matemáticas en Internet. Creo que mi conocimiento y habilidad sobre el tema aumentaron considerablemente.

Por ejemplo, encontré esto mientras escribía "notas de clase" sobre la teoría de Galois. También pude probar que cualquier grupo profinito es un grupo de Galois. Este hecho fue mencionado en la teoría algebraica de números de Neukirch. Más tarde descubrí que Bourbaki tenía este problema como ejercicio. Sin embargo, no entiendo su sugerencia. Más tarde encontré que alguien escribió un artículo sobre este problema. Hice otros pequeños "descubrimientos" durante el curso. Planeaba escribir una "nota de conferencia" sobre la teoría de Galois de Grothendieck. Este es un plan atractivo, pero aún no se ha iniciado.

EDITAR Si quieres tener ejercicios, ¿por qué no producirlos tú mismo? Cuando estás aprendiendo un tema, naturalmente surgen preguntas. Algunos de estos pueden ser buenos ejercicios. Al menos tienes la motivación que no te dan los demás. No es tarea. Por ejemplo, se me ocurrió la siguiente pregunta cuando estaba aprendiendo geometría algebraica. Descubrí que este era un buen problema.

Dejar k ser un campo. Dejar A Sea un álgebra conmutativa finitamente generada sobre k . Dejar PAG norte = PAG r o j ( k [ X 0 , . . . X norte ] ) . Determinar H o metro k ( S pag mi C ( A ) , PAG norte ) .

Como escribí, tratar de encontrar ejemplos o contraejemplos también puede ser un buen ejercicio. Por ejemplo, este es un buen ejercicio en la teoría de álgebras de división.

EDITAR Déjame mostrarte otro ejemplo de autoejercicios. Encontré el siguiente problema cuando estaba escribiendo una "nota de clase" sobre la teoría de Galois.

Dejar k ser un campo. Dejar k s mi pag sea ​​una clausura algebraica separable de k . Dejar GRAMO ser el grupo de Galois de k s mi pag / k .

Dejar A ser un álgebra de dimensión finita sobre k . Si A es isomorfo a un producto de campos, cada uno de los cuales es separable en k , A se llama álgebra etale finita. Dejar F i norte mi t ( k ) ser la categoría de álgebra etale finita sobre k .

Dejar X sea ​​un conjunto finito. Suponer GRAMO actúa sobre X continuamente. X se llama finito GRAMO -colocar. Dejar F i norte S mi t s ( GRAMO ) ser la categoría de finito GRAMO -conjuntos.

Entonces F i norte mi t ( k ) es anti-equivalente a F i norte S mi t s ( GRAMO ) .

Esta es una versión de dimensión cero del teorema principal de la teoría de Galois de Grothendieck. Puede encontrar la prueba en otro lugar, pero le recomiendo que la pruebe usted mismo. No es difícil y es un buen ejercicio de la teoría de Galois. Sugerencia : redúzcalo al caso de que A es una extensión separable finita de k y X es un transitivo finito GRAMO -colocar.

EDITAR Si cree que esta es una pregunta demasiado amplia, puede agregar las condiciones adecuadas. Esta es una pregunta suave.

no parece una pregunta muy útil
El hecho de que esto puede variar con el libro (incluyendo muchos libros, por ejemplo, Teoría algebraica de números de Lang , que no tienen ejercicios) hace que parezca demasiado amplio.
Algunos profesores me han dicho en varias ocasiones que a menudo no es importante entender la demostración de un resultado, sino que es cierto. Dicho esto, estoy de acuerdo en que esta es una pregunta amplia y depende de las preferencias personales. Pero, creo que la mayoría de la gente hace una combinación de lo que parece estar haciendo, pero también resuelve algunos ejercicios. Un libro que me viene a la mente en el que la resolución de ejercicios parece fundamental para comprender mejor el tema es el Álgebra conmutativa de Atiyah-Macdonalds. No creo que hubiera aprendido mucho simplemente leyendo el texto y omitiendo ejercicios.
@anthonyquas Mira mi EDICIÓN .
@Rankeya Me salté la mayoría de los ejercicios de Atiyah-MacDonald. En cambio, leo a Bourbaki, Matsumura, Zariski-Samuel.
Me llevaría mucho tiempo leer los libros que mencionaste siguiendo tu enfoque. Idealmente, me gusta probar y probar los resultados sin ver la prueba, pero avanzo muy poco de esta manera. ¿Progresa moderadamente rápido a través de los libros usando su enfoque?
@ Rankeya Pareces olvidar que esos libros tienen mucha más cobertura que Atiyah-MacDonald.
Decidir simplemente entender la teoría (y construir las pruebas de los teoremas) pero no usar la teoría para atacar ningún problema me recuerda el siguiente cuento apócrifo. Un miembro de la facultad (sin inclinaciones atléticas) leyó el comentario del gran tenista Bjorn Borg de que el tenis era un juego muy simple; todo lo que había que hacer era pasar la pelota por encima de la red una vez más que el otro tipo. Sintió que entendía la teoría a la perfección y, por lo tanto, ingresó rápidamente al torneo de tenis en el club de la facultad. ¡No podía entender por qué perdió en la primera ronda sin ganar ni un punto!
@Dilip Usarás la teoría tarde o temprano, de lo contrario, la teoría no es para ti. Por ejemplo, cuando aprendes álgebra conmutativa, tienes que usar teoría de grupos, teoría de campos, teoría de Galois, etc. Cuando aprendes geometría algebraica, tienes que usar álgebra conmutativa, álgebra homológica, topología algebraica, análisis complejo, geometría diferencial, etc..
@Rankeya Escribiste "¿Progresas moderadamente rápido a través de los libros usando tu enfoque?" No, pero creo que es una de las formas más efectivas de aprender un tema.
@DilipSarwate, haga de su comentario una respuesta. Quiero votarlo.
Además, en mi experiencia personal (no es que tenga mucha), la diferencia entre leer un libro de texto y leer un libro de texto y hacer los ejercicios es la diferencia entre hojear un libro y leer un libro. Es como tener astigmatismo severo versus ver perfectamente claro. También puede ser tan malo que ni siquiera te das cuenta. (Leí un capítulo y luego probé los ejercicios, solo para descubrir que no entendía el capítulo por completo).
@Dilip Parece que no entiendes mis métodos. Mis métodos exigen esfuerzos creativos .
@Limitless Parece que también malinterpretas mis métodos. Por favor, lea todas las EDICIONES .
@MakotoKato, lo siento, pero lo malinterpretas. No estoy comentando sobre sus métodos en absoluto. De hecho, estaba comentando completamente sobre la opinión de Dilip. Tus métodos realmente suenan bien. Pero estoy de acuerdo con Dilip en el sentido de que si solo lees un libro de texto, las cosas serán exactamente como él las ha dicho. ¿Nos estamos entendiendo?

Respuestas (6)

Si tu meta es convertirte en un matemático investigador, entonces es importante hacer ejercicios. Por supuesto, habrá una rara persona que pueda saltarse ejercicios sin detrimento de su desarrollo, pero (y hablo desde la experiencia de aproximadamente veinte años de participación en la capacitación para la investigación matemática) esas personas son genuinamente raras.

Los otros tipos de ejercicios que describes también son buenos, ¡y deberías hacerlos también!

El objetivo de hacer ejercicios establecidos es practicar el uso de técnicas particulares, para que pueda reconocer cómo y cuándo usarlas cuando se enfrenta a obstáculos técnicos en su investigación.

En mi propio campo, dos libros cuyos ejercicios recomiendo habitualmente a mis alumnos son el texto de geometría algebraica de Hartshorne y el texto de curvas elípticas de Silverman . Los ejercicios al final de Cassels y Frolich también son buenos.

Atiyah and MacDonald también es conocida por sus ejercicios.

Un enfoque posible (aunque no recomendado para todo el mundo) es posponer la realización de los ejercicios si los encuentra demasiado difíciles (o si consumen demasiado tiempo, pero esto suele equivaler a demasiado difícil), pero retomarlos más tarde cuando sienta que los necesita. comprender mejor el tema. Sin embargo, si al regresar, todavía no puede resolver fácilmente los ejercicios estándar sobre un tema que cree que conoce bien, probablemente no conozca el tema tan bien como cree.

Si su objetivo no es convertirse en un matemático investigador, entonces la comprensión probablemente tenga un significado y un propósito diferente, y su pregunta posiblemente tendrá una respuesta diferente, que no soy la persona adecuada para dar.

Estimado Matt, creo que muchos ejercicios del libro de Hartshorne podrían estar en el texto principal. De hecho muchos de ellos están en EGA con pruebas completas.
@MakotoKato: Querido Makoto, Sí, así es. Pero tenerlos como ejercicios para resolver en lugar de resultados para estudiar les da un papel diferente en el entrenamiento de uno. (Siempre abordo este tipo de preguntas desde el punto de vista de la "formación", ya sea que esté pensando en mi propia formación o en la de mis alumnos). Mis mejores deseos,
¿Cuáles son algunas de las cosas que no requieren una comprensión matemática completa?

Depende del libro de texto, supongo. Algunos libros de texto introducen mucho material en los ejercicios que no se desarrolla en el texto principal.

Creo que el punto más importante en matemáticas es pensar en el tema durante largos períodos de tiempo. Si piensas en las matemáticas, a menudo desarrollarás la intuición, que es muy importante. Por supuesto, si piensas en algo durante largos períodos de tiempo, tu memoria del material también es mejor.

En última instancia, el punto es que las personas generalmente aprenden más haciendo (compare el aprendizaje activo con el aprendizaje pasivo). Por supuesto, hay excepciones a cada regla y usted es la persona que mejor comprende sus propias fortalezas y debilidades. El punto importante es identificar sus debilidades y trabajar duro en ellas a través de una combinación de pensamiento activo y resolución de problemas.

Por supuesto, esto es totalmente subjetivo y depende de tu inteligencia y memoria. Sospecho que la mayoría de las personas en este sitio tienen un alto nivel en ambas áreas, al menos en lógica/matemáticas.

Comprender los teoremas y trabajar con ellos como usted explicó es una muy buena manera de comprender el material, especialmente si puede tenerlo en cuenta cuando sea necesario. Los ejercicios suelen ser repetitivos, pero también pueden brindarle un contexto en el que puede/debe aplicar los teoremas.

Por lo tanto, no hacer ejercicios no es un requisito, pero hacer algunos es una buena idea tanto para confirmar que entiendes el material como para ayudar a memorizar ese material. Dicho esto, no sugeriría hacer los primeros ejercicios (en la mayoría de los libros de texto son los más fáciles), sino elegir algunos en el medio o algunos cuya respuesta o cómo resolverlos no sea obvio para usted. Por lo general, los que están hacia el final de una sección son difíciles, extensos o ambos. Hacer algunos de ellos puede valer la pena, pero algunos pueden ser largos y dispersos y, en última instancia, no valen la pena.

Esta es solo mi experiencia con los libros de texto de matemáticas, pero solo llegué al nivel de pregrado, por lo que no sé qué tan cierto es esto en los niveles superiores.

Absolutamente no puedes decir que entiendes algo hasta que lo resuelves.

Estoy con el OP en esto, también me salteo los ejercicios.

Aquí está la lógica: una verdadera comprensión de las matemáticas se trata de ser creativo en sus aplicaciones y no solo del material en sí mismo.

Los ejercicios, por definición, sofocan la creatividad al presentar una caja de arena en la que pensar.

Es un poco como Rocky 3, ¿aprendes tu oficio haciendo ejercicio en un gimnasio o levantando troncos en el bosque?

...y otra cosa, creo que seguir ejemplos en libros conduce a matemáticas degeneradas. Perpetúan estilos particulares de pensar acerca de los problemas.

Pero sin ejercicios, ¿cómo puedes decir que realmente entendiste las definiciones y eres capaz de usar las definiciones y los teoremas dados en el libro?
¡En efecto! Tanto la comprensión como el valor de las matemáticas aprendidas deben fluir de tres cosas: 1) Consistencia interna, es decir, ¿tiene sentido? 2) Independencia del cuerpo de matemáticas ya entendido 3) Consistencia con las futuras matemáticas adquiridas. Este enfoque proporciona una medida válida de comprensión con la menor cantidad de restricciones en la creatividad.
@AsafKaragila Creo que uno puede crear sus propios ejercicios haciendo tantas preguntas como sea posible. De esta manera, uno practica no solo hacer preguntas (lo cual es crucial en la investigación matemática) sino también responder las propias preguntas. Creo que vale la pena hacer ejercicios desafiantes, si existen en el libro de texto. Sin embargo, estoy de acuerdo con "@bennyrimmer" en el sentido de que comprender las matemáticas en la escala línea por línea (que la gente aprende haciendo ejercicios) es mucho menos importante que comprender las matemáticas en la escala mayor de investigación (aunque ambas son importantes).
@Amitesh: Antes de investigar, uno debe aprender a hacer matemáticas. Su comentario es la raíz de todas las locuras, y la gran cantidad de personas que sugieren que ellos, puros aficionados sin ningún conocimiento o experiencia real, pueden encontrar agujeros en el teorema de Gödel; o inconsistencias en la teoría de conjuntos. Resolver ejercicios te ayuda a estar seguro de que entendiste completamente los teoremas y las definiciones. Creeme lo se. Me salté los ejercicios muchas veces, solo para descubrir muchos días después que me faltaba la comprensión esencial que habría surgido al resolver los ejercicios. Hacer una investigación original viene después .
@Asaf Nunca sugerí en mi comentario que uno no debería hacer ningún ejercicio. Sin embargo, creo que hacer demasiados ejercicios podría ser perjudicial a largo plazo para alguien que aspira a convertirse en un matemático investigador (pero, de nuevo, esto depende de los ejercicios, como mencioné en mi comentario anterior: hacer ejercicios desafiantes a veces vale la pena) . Estoy de acuerdo en que la resolución de ejercicios es importante pero creo que si uno hace demasiados, entonces corre el riesgo de acostumbrarse a ciertos trenes de pensamiento que reducen la creatividad a la hora de pensar en problemas de investigación...
@Asaf ... Por supuesto, es importante comprender las definiciones y los teoremas en el libro de texto, pero si se dedica demasiado esfuerzo a esto, entonces se puede olvidar el "panorama general". En resumen, mi sensación es que hacer ejercicios ayuda a comprender muy bien los detalles técnicos de un tema; pero la investigación es a menudo sobre el "panorama general" en lugar de los detalles técnicos (esta es mi impresión); si uno no puede obtener ideas, ninguna cantidad de capacitación técnica lo ayudará a resolver problemas de investigación...
@Asaf ... Digo todo esto porque diferentes personas hacen matemáticas de diferentes maneras y creo que uno debe mantener una mente abierta sobre cómo se deben hacer las matemáticas. Por supuesto, no soy un matemático experimentado en ninguna medida del término, pero digo esto con bastante experiencia leyendo libros de texto en varias ramas de las matemáticas y haciendo algunos (no todos) de los ejercicios en estos libros de texto (y con algo de experiencia enseñar tales matemáticas). Usted está mucho más calificado que yo y ciertamente no pretendo contradecirlo; Sólo estoy ofreciendo un punto de vista alternativo.
@Amitesh: Lo que escribí proviene de una mente extremadamente orientada al panorama general. Odio los detalles y para mí el panorama general es lo importante. Sin embargo, las matemáticas se tratan de demostrar, no de conjeturar. Rara vez se da el caso de que mi conjetura inicial tenga éxito, y cuando lo es, siempre se da el caso de que hay algún truco que me detiene. Sigo pensando que primero hay que resolver algunos ejercicios que nunca escribí que hay que resolverlos todos. Sin embargo, si uno los omite por completo, fallarán en algún momento. Aprendí esto de la manera difícil.
@Asaf Ciertamente estoy de acuerdo en que no hacer ningún ejercicio es probablemente una mala idea en general. Supongo que lo que estaba diciendo era que, en el otro extremo de la escala, hacer todos los ejercicios probablemente sea una mala idea. Nunca sugerí que no hacer ningún ejercicio sea una buena idea, pero sí creo que valdría la pena adoptar una combinación del punto de vista de "@bennyrimmer" y el consenso general sobre los ejercicios en los libros de texto de matemáticas; por eso creo que hacer demasiados ejercicios desafiantes podría no ser la mejor idea (en lugar de hacer ejercicios desafiantes, creo que uno debería centrarse en la investigación).
¿Son necesarios los ejercicios para comprender el tema de un libro de texto de matemáticas?
RespuestasAquíPolítica de privacidad1y, 0v