Grupo de Rotación y Grupo Lorentz

Uno puede incrustar el$3\times3$matrices de rotación

$$R~\in~ SO(3)~:=~\{R\in{\rm Mat}_{3\times 3}(\mathbb{R}) \mid R^tR~=~{\bf 1}_{3\times 3}~\wedge~ \det(R)=1 \}$$

en el$4\times4$Matrices de Lorentz

$$\Lambda~\in~ O(1,3)~:=~\{\Lambda\in{\rm Mat}_{4\times 4}(\mathbb{R}) \mid\Lambda^t\eta \Lambda~=~\eta \}$$

como

$$SO(3)~\ni~R~\stackrel{\Phi}{\mapsto}~ \Lambda ~=~ \left[\begin{array}{cc}1 & 0 \cr 0 &R \end{array} \right]~\in~ O(1,3).$$

No es difícil ver que esta incrustación $\Phi:SO(3)\to O(1,3)$es un homomorfismo de grupo inyectivo

$$\Phi(R_1 R_2)=\Phi(R_1)\Phi(R_2), \qquad R_1,R_2~\in~SO(3).$$

Las operaciones de grupo pertinentes son para ambos grupos simplemente multiplicación de matrices.

Sí, este es un resultado rigurosamente establecido como: Hay un subgrupo adecuado de$O(1,3)$isomorfo a$SO(3)$. Está formado por el conjunto de transformaciones de Lorentz de la forma:

$$\left(\begin{array}{cc} 1 & 0\\ 0 & R(3) \end{array}\right)$$

dónde$R(3)\in SO(3)$,

junto con la operación interna de multiplicación de matrices. ¿Por qué es esto relevante? Bueno, para evaluar que algunas propiedades topológicas relevantes del grupo de Lorentz se heredan del grupo de rotación propia tridimensional.