Simetría Bondi-Metzner-Sachs (BMS) de espacio-tiempos asintóticamente planos

Empecé a estudiar la simetría BMS en relación con el artículo: http://arxiv.org/abs/1312.2229 y noté algunas cosas extrañas.

En primer lugar, al leer los artículos originales de Bondi, Metzner y Sachs, sé que la "simetría BMS" es solo un subconjunto permitido de difeomorfismos de coordenadas que deja intacta la planitud asintótica del espacio-tiempo. Sin embargo, cuando leí el documento anterior, la simetría BMS se establece en forma de un campo vectorial eq. (2.10) y (2.14). Por lo tanto, mi primera pregunta:

¿Cómo obtengo de un subconjunto dado de difeomorfismos de coordenadas (que se considera una simetría) un campo vectorial correspondiente a'la Killing vector?

Además, más adelante en el artículo se pasa de los campos vectoriales BMS a los generadores de simetría BMS en la ec. (3.3). No mencionan cómo hacerlo, así que me gustaría saber:

¿Cómo paso de campos vectoriales que caracterizan una simetría a un generador real de la simetría?

Me doy cuenta de que esto es algo bastante avanzado. Agradezco cualquier ayuda o sugerencia!

en la fórmula ( 2.10 ) , tienes un generador de seis simetrías infinitesimales (porque hay una simetría asintótica SL(2;C)). ζ z posee 6 componentes, y también lo ha hecho ζ a ∂ a . Cada componente representa un generador de simetría, y los coeficientes delante del ∂ z , ∂ r , etc... representan las coordenadas de un vector Killing.
Trimok, sí, hay 6 campos vectoriales diferentes (para SL(2,C) e infinitamente muchos más para las supertraducciones). Sin embargo, esos no son vectores Killing, ya que la transformación no es realmente una simetría sino que solo conserva la forma asintóticamente plana de la métrica. Además, mi pregunta era más bien cómo generar estos campos vectoriales a partir de difeomorfismos de coordenadas dados. Además, parece que el generador (3.3) tiene que ver con la teoría simpléctica de la frontera, así que creo que conseguirlo es un poco más complicado.
si, los seis ζ z solo son asintóticos S L ( 2 , C ) Matar vectores. Los vectores de muerte representan generadores infinitesimales de simetrías. Por ejemplo, una simetría de traslación en el tiempo tiene un generador infinitesimal ∂ 0 , que corresponde a un vector Killing ζ m = d 0 m

Respuestas (1)

Es más fácil derivar directamente la forma de los campos vectoriales a partir de las condiciones de contorno para espaciostiempos asintóticamente planos. Véase, por ejemplo, este artículo

http://arxiv.org/abs/1001.1541

o este

http://arxiv.org/abs/1106.0213

Los difeomorfismos infinitesimalmente actúan sobre la métrica a través de la derivada de Lie L ξ gramo m v . En el caso de BMS, necesita esta transformación para respetar las condiciones de contorno en gramo m v , por ejemplo gramo tu tu ≈ − 1 + O ( r − 1 ) . Entonces el campo vectorial debe satisfacer ∇ tu ξ tu = O ( r − 1 ) . Puede configurar dichas ecuaciones para cada componente de la métrica y sus condiciones de contorno correspondientes. En cada caso, necesita que el campo vectorial no toque la parte "principal" de Minkowski de la métrica. Este es un sistema de ecuaciones diferenciales, que luego puedes resolver.

En lo que respecta a los generadores, esto se aborda en el segundo documento al que me vinculé. Aunque en lo que respecta a la ecuación 3.3, puede pensar heurísticamente en esto como el hamiltoniano ADM ponderado por una función en la esfera que convierte la traducción de tiempo uniforme en una supertraducción (los espacios que Andy está estudiando son espacios de Christodoulou-Klainerman para los cuales i 0 es un punto no singular, por lo que puede esperar que coincida yo − + a yo + − mediante i 0 donde se define el hamiltoniano ADM). Demostrar que estas cargas generan las transformaciones mecánicas cuánticas correctas es en realidad muy sutil, como se analiza aquí.

http://arxiv.org/abs/1401.7026

Espero que esto ayude.

En el artículo arxiv.org/pdf/1106.0213v2.pdf en las ecuaciones (2.18)-(2.22) se da la acción de los vectores Killing asintóticos en el espacio de solución. Dicen que estos resultados "se pueden resolver para ser" esto, pero no dicen cómo hacerlo en la práctica. ¿Tal vez podría decirme qué tipo de cálculo es ese? (No parece ser una simple derivada de Lie, ya que los índices de, por ejemplo, C_{AB} no oscilan sobre {u,r,A} sino solo sobre {A}).
Para derivar, por ejemplo, la ley de transformación para C_{ab}, calcule la derivada de mentira de la métrica completa g_{mu nu}. Esto le dirá cómo se transforma cada componente de la métrica. Luego especialícese en la transformación de la componente {ab} y aísle la pieza lineal en r. Así es como se transforma C_ab.
Tiene sentido, gracias! Me pregunto si puedo hacer una pregunta más: en el mismo documento en eq. (2.11) dan un paréntesis para el álgebra de simetría. El primer bit que involucra Y ^ es solo el conmutador directo para el álgebra de Lie de vectores Killing conformes en 2 esferas, pero el resultado para T ^ presenta términos adicionales que involucran D ¯ A Y i A T j . ¿Sabes de dónde vienen estos términos adicionales y cómo derivarlos? (Además, en la ecuación (2.16) modifican aún más el paréntesis, me pregunto cómo verificar que esto debería leerse exactamente así y no diferente?)
2.11 debe derivarse de la regla de composición para un producto semidirecto. No sé mucho sobre 2.16, excepto que se hacen cosas similares en Brown & Henneaux, por ejemplo.
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