¿Son equivalentes el formalismo de la integral de trayectoria y el formalismo del operador?

Question

¿Son equivalentes el formalismo de la integral de trayectoria y el formalismo del operador?

AccidentalFourierTransformar

Abstracto

La definición del propagador. $\Delta(x)$ en el formalismo de integral de camino (PI) es diferente de la definición en el formalismo de operador (OF). En general, las definiciones concuerdan, pero es fácil escribir teorías donde no lo hacen. En esos casos, ¿el PI y el OF son realmente no equivalentes, o es razonable esperar que el $S$ las matrices de ambas teorías concuerdan?

Para mayor precisión, consideraré un campo escalar real. $\phi$ , con acción

\begin{matrix} (1) & S_{0} = \int d X \frac{1}{2} (\partial ϕ)^{2} - \frac{1}{2} {metro}^{2} ϕ^{2} \end{matrix}

$S_0=\int\mathrm dx\ \frac{1}{2}(\partial \phi)^2-\frac{1}{2}m^2\phi^2 \tag{1}$

Formalismo integral de trayectoria

En PI insertamos un término fuente en la acción,

\begin{matrix} (2) & S_{j} = S_{0} + \int d X ϕ (X) j (X) \end{matrix}

$S_J=S_0+\int\mathrm dx\ \phi(x)\ J(x) \tag{2}$

El término mixto $\phi J$ se puede simplificar con el truco habitual: mediante un cambio adecuado de variables, la acción se puede escribir como dos términos independientes

\begin{matrix} (3) & S_{j} = S_{0} + \int d X d y j (X) Δ_{PAG yo} (X - y) j (y) \end{matrix}

$S_J=S_0+\int \mathrm dx\;\mathrm dy\ J(x)\Delta_\mathrm{PI}(x-y)J(y) \tag{3}$ y esta relación define

Δ_{P I} (x)

$\Delta_\mathrm{PI}(x)$ : para obtener la acción en esta forma tenemos que resolver

(\partial^{2} + m^{2}) Δ_{P I} = δ (x)

$(\partial^2+m^2)\Delta_{\mathrm{PI}}=\delta(x)$ , es decir, en PI el propagador se define como la función de Green de las ecuaciones de Euler-Lagrange de

S_{0}

$S_0$ . Esta definición está motivada por el hecho de que cuando

S_{J}

$S_J$ se escribe como

(3)

$(3)$ la función de partición se puede factorizar como

\begin{matrix} (4) & Z [j] = Z [0] Exp [i \int d X d y j (X) Δ_{PAG yo} (X - y) j (y)] \end{matrix}

$Z[J]=Z[0]\exp\left[i\int \mathrm dx\;\mathrm dy\ J(x)\Delta_\mathrm{PI}(x-y)J(y) \right] \tag{4}$ lo que hace que las derivadas funcionales sean triviales de calcular. Por ejemplo, si diferenciamos

Z [J]

$Z[J]$ dos veces tenemos

\begin{matrix} (5) & ⟨ 0 | T ϕ (X) ϕ (y) | 0 ⟩ = Δ_{PAG yo} (X - y) \end{matrix}

$\langle0|\mathrm T\ \phi(x)\phi(y)|0\rangle=\Delta_\mathrm{PI}(x-y) \tag{5}$

En este formalismo, el propagador es siempre la función de Green del operador diferencial de la teoría.

Formalismo del operador

En OF el propagador se define como la contracción de dos campos:

\begin{matrix} (6) & Δ_{O F} (X - y) \equiv \bar{ϕ (X) ϕ} (y) \equiv {\begin{cases} [ϕ^{+} (X), ϕ^{-} (y)] & X^{0} > y^{0} \\ [ϕ^{+} (y), ϕ^{-} (X)] & X^{0} < y^{0} \end{cases} \end{matrix}

$\Delta_\mathrm{OF}(x-y)\equiv \overline{\phi(x)\phi}(y)\equiv \begin{cases}[\phi^+(x),\phi^-(y)]&x^0>y^0\\ [\phi^+(y),\phi^-(x)]&x^0<y^0\end{cases} \tag{6}$ donde

ϕ^{\pm}

$\phi^\pm$ son las partes de frecuencia positiva y negativa de

ϕ

$\phi$ .

En general, $\Delta_\mathrm{OF}$ es un operador, pero si conmuta con todo (o, más precisamente, si el propagador está en el centro del álgebra de operadores) podemos probar el teorema de Wick, que a su vez significa que

\begin{matrix} (7) & ⟨ 0 | T ϕ (X) ϕ (y) | 0 ⟩ = Δ_{O F} (X - y) \end{matrix}

$\langle 0|\mathrm T\ \phi(x)\phi(y)|0\rangle=\Delta_\mathrm{OF}(x-y) \tag{7}$ es decir, el propagador coincide con la función de dos puntos. Esto hace que sea muy fácil ver, por ejemplo, que

\begin{matrix} (8) & Δ_{O F} = Δ_{PAG yo} \end{matrix}

$\Delta_\mathrm{OF}=\Delta_\mathrm{PI} \tag{8}$

En esta teoría, el hecho de que el propagador sea una función de Green es un corolario y no una definición. El teorema puede fallar si no se cumplen los supuestos.

La discrepancia

Las partes de frecuencia positiva/negativa de $\phi$ son los operadores de creación y aniquilación, que en OF suelen satisfacer

\begin{matrix} (9) & [ϕ^{+} (X), ϕ^{-} (y)] \propto d (X - y) \cdot 1_{H} \end{matrix}

$[\phi^+(x),\phi^-(y)]\propto\delta(x-y)\cdot1_\mathcal H \tag{9}$ y por lo tanto

\bar{ϕ (x) ϕ} (y)

$\overline{\phi(x)\phi}(y)$ es un número c. Esto significa que se cumplen los supuestos del teorema de Wick y

(8)

$(8)$ sostiene

La relación $(9)$ se puede derivar de uno de los supuestos básicos de OF: las relaciones canónicas de conmutación:

\begin{matrix} (10) & [ϕ (X), π (y)] = d (X - y) \cdot 1_{H} \end{matrix}

$[\phi(x),\pi(y)]=\delta(x-y)\cdot1_\mathcal H\tag{10}$

Pero si usamos cualquier operador no trivial en la derecha de $(10)$ en lugar de un $1_\mathcal H$ , se viola el teorema de Wick y en general $\Delta_\mathrm{PI}\neq \Delta_\mathrm{OF}$ . Se podría argumentar que la rhs de $(10)$ se fija por la prescripción de Dirac $\{\cdot,\cdot\}_\mathrm{D}\to\frac{1}{i\hbar}[\cdot,\cdot]$ , dónde $\{\cdot,\cdot\}_\mathrm{D}$ es el soporte de Dirac. En el modelo estándar, es fácil probar que $\{\cdot,\cdot\}_\mathrm{D}$ siempre es proporcional a la identidad, pero en una teoría más general podemos tener restricciones complejas que harían que el paréntesis de Dirac no fuera trivial (léase, no proporcional a la identidad) y, por lo tanto, $\Delta_\mathrm{OF}\neq\Delta_\mathrm{PI}$ .

Los QFT escalares, espinores y vectoriales siempre satisfacen una relación similar a $(10)$ , y por lo tanto los formalismos OF y PI concuerdan. Pero en principio es posible estudiar QFT's más generales donde usamos una relación de conmutación más compleja que $(10)$ . No conozco ningún uso práctico de esto, pero me parece que podemos tener una teoría perfectamente consistente donde los formalismos PI y OF predicen resultados diferentes. ¿Es esto correcto? Espero que alguien pueda arrojar algo de luz sobre esto.

EDITAR

Creo que puede ser útil agregar algunos detalles a lo que dije sobre los corchetes de Dirac, definidos como

\begin{matrix} (11) & {a, b}_{D B} = {a, b}_{PAG B} - {a, ℓ^{i}}_{PAG B} {METRO}_{i j} {ℓ^{j}, b}_{PAG B} \end{matrix}

$\{a,b\}_\mathrm{DB}=\{a,b\}_\mathrm{PB}-\{a,\ell^i\}_\mathrm{PB} M_{ij}\{\ell^j,b\}_\mathrm{PB}\tag{11}$ donde

ℓ^{i}

$\ell^i$ son las restricciones y

M^{i j} = {ℓ^{i}, ℓ^{j}}_{P B}

$M^{ij}=\{\ell^i,\ell^j\}_\mathrm{PB}$ . Como

{q, p}_{P B} = δ (x - y)

$\{q,p\}_\mathrm{PB}=\delta(x-y)$ , la única forma de obtener corchetes de Dirac no triviales es a través del segundo término. Esto puede suceder si tenemos restricciones no lineales tales que el segundo término es una función de

p, q

$p,q$ . Si en algún caso tenemos restricciones no lineales la matriz

M

$M$ dependerá de

p, q

$p,q$ y

{p, q}_{D B}

$\{p,q\}_\mathrm{DB}$ será una función de

p, q

$p,q$ . Si traducimos esto a operadores, encontraremos

\begin{matrix} (12) & [π, ϕ] = d (X - y) \cdot 1_{H} + F (π, ϕ) \end{matrix}

$[\pi,\phi]=\delta(x-y)\cdot1_\mathcal H+f(\pi,\phi)\tag{12}$ y entonces

[π, ϕ]

$[\pi,\phi]$ no viajará con ninguno de los dos

π

$\pi$ ni

ϕ

$\phi$ como requiere el teorema de Wick. (Este término

f

$f$ quizás esté relacionado con la

ℏ^{2}

$\hbar^2$ términos en la respuesta de QMechanic, y los términos de orden superior en, por ejemplo, el corchete de Moyal ).

AccidentalFourierTransformar

Sé que el título no es muy descriptivo, pero es lo mejor que se me ocurrió. Si a alguien se le ocurre uno mejor, siéntase libre de editar la publicación.

qmecanico

Relacionado: physics.stackexchange.com/q/14481/2451 , physics.stackexchange.com/q/71987/2451 , physics.stackexchange.com/q/74795/2451

prahar

Los campos

ϕ

$\phi$ que entran en el formalismo de la integral de trayectoria se requiere que sean las coordenadas canónicas. Esto se puede ver haciendo coincidir la forma en que el formalismo integral de ruta se "deriva" del formalismo canónico. Para todos estos campos,

[ϕ, π]

$[\phi,\pi]$ siempre será un

c

$c$ -número.

Adán

Para complementar el comentario de Prahar, si no tuviera la relación de conmutación canónica, la integral de ruta no sería la que ha escrito (suponiendo que pudiera escribir una, ya que no tendría los operadores estándar de creación/aniquilación y los estados coherentes y así en).

AccidentalFourierTransformar

@Prahar gracias por tu comentario. AFAIK, las variables canónicas pueden, en principio, tener corchetes de Dirac no triviales. Si seguimos la prescripción de Dirac "Corchete de Dirac

\to

$\to$ conmutador", podríamos terminar con un conmutador no trivial si el soporte original de Driac no fuera trivial.

AccidentalFourierTransformar

@adam, podría estar equivocado, pero creo que podemos tener operadores de creación/aniquilación cuyas relaciones de conmutación son más complejas que

[a, a^{†}] = 1

$[a,a^\dagger]=1$ (por ejemplo, en física del estado sólido, donde las excitaciones pueden tener estadísticas intermedias). Si esto es cierto, todavía podemos definir integrales de trayectoria con estos operadores de escalera "generalizados".

prahar

@AccidentalFourierTransform - Sí, eso es cierto. Esto sucede automáticamente cuando se integra sobre superficies restringidas. Asumí el caso más simple de variables sin restricciones.

Adán

@AccidentalFourierTransform: No estaba diciendo que no necesariamente puede escribir una integral de ruta, estaba diciendo que es posible que no ;-) Consulte los enlaces de Qmechanic para ver algunos contraejemplos. Aunque para todos, no estoy seguro de que pueda definir operadores de creación/aniquilación adecuados (podría estar equivocado), ya que generalmente se construyen como entidades compuestas (carga más flujo, por ejemplo).

Respuestas (3)

¿Son equivalentes el formalismo de la integral de trayectoria y el formalismo del operador?

Sé que el título no es muy descriptivo, pero es lo mejor que se me ocurrió. Si a alguien se le ocurre uno mejor, siéntase libre de editar la publicación.
Relacionado: physics.stackexchange.com/q/14481/2451 , physics.stackexchange.com/q/71987/2451 , physics.stackexchange.com/q/74795/2451
Los campos $\phi$ que entran en el formalismo de la integral de trayectoria se requiere que sean las coordenadas canónicas. Esto se puede ver haciendo coincidir la forma en que el formalismo integral de ruta se "deriva" del formalismo canónico. Para todos estos campos, $[\phi,\pi]$ siempre será un $c$ -número.
Para complementar el comentario de Prahar, si no tuviera la relación de conmutación canónica, la integral de ruta no sería la que ha escrito (suponiendo que pudiera escribir una, ya que no tendría los operadores estándar de creación/aniquilación y los estados coherentes y así en).
@Prahar gracias por tu comentario. AFAIK, las variables canónicas pueden, en principio, tener corchetes de Dirac no triviales. Si seguimos la prescripción de Dirac "Corchete de Dirac $\to$ conmutador", podríamos terminar con un conmutador no trivial si el soporte original de Driac no fuera trivial.
@adam, podría estar equivocado, pero creo que podemos tener operadores de creación/aniquilación cuyas relaciones de conmutación son más complejas que $[a,a^\dagger]=1$ (por ejemplo, en física del estado sólido, donde las excitaciones pueden tener estadísticas intermedias). Si esto es cierto, todavía podemos definir integrales de trayectoria con estos operadores de escalera "generalizados".
@AccidentalFourierTransform - Sí, eso es cierto. Esto sucede automáticamente cuando se integra sobre superficies restringidas. Asumí el caso más simple de variables sin restricciones.
@AccidentalFourierTransform: No estaba diciendo que no necesariamente puede escribir una integral de ruta, estaba diciendo que es posible que no ;-) Consulte los enlaces de Qmechanic para ver algunos contraejemplos. Aunque para todos, no estoy seguro de que pueda definir operadores de creación/aniquilación adecuados (podría estar equivocado), ya que generalmente se construyen como entidades compuestas (carga más flujo, por ejemplo).

qmecanico · Answer 1

Comentarios generales a la pregunta (v1):

Cualquier derivación de libro de texto de la correspondencia entre
$\begin{matrix} (1) & Formalismo del operador ⟷ Formalismo integral de trayectoria \end{matrix}$ $\tag{1} \text{Operator formalism}\qquad \longleftrightarrow \qquad \text{Path integral formalism}$ es solo una derivación formal, que descarta aportes en el proceso, cf. por ejemplo , esta publicación de Phys.SE.
En lugar de afirmar una comprensión completa y la existencia de la correspondencia (1), probablemente sea más justo decir que tenemos una larga lista de teorías (como, por ejemplo, Yang-mills, Cherns-Simons, etc.), donde ambos lados de la se ha resuelto la correspondencia (1).
La correspondencia (1) está llena de sutilezas. Ejemplo: considere una partícula puntual no relativista en una variedad objetivo curva $(M,g)$ con hamiltoniano clásico
$\begin{matrix} (2) & H_{C yo} = \frac{1}{2} {pag}_{i} {pag}_{j} {gramo}^{i j} (X), \end{matrix}$ $\tag{2} H_{\rm cl} ~=~\frac{1}{2} p_i p_jg^{ij}(x),$ que usamos en la acción hamiltoniana de la integral de trayectoria del espacio de fase. Entonces se puede demostrar que el operador hamiltoniano correspondiente es $\begin{matrix} (3) & \hat{H} = \frac{1}{2 \sqrt[4]{gramo}} {\hat{pag}}_{i} \sqrt{gramo} {gramo}^{i j} {\hat{pag}}_{j} \frac{1}{\sqrt[4]{gramo}} + \frac{ℏ^{2} R}{8} + O (ℏ^{3}), \end{matrix}$ $\tag{3}\hat{H}~=~ \frac{1}{2\sqrt[4]{g}} \hat{p}_i\sqrt{g}~ g^{ij} ~\hat{p}_j\frac{1}{\sqrt[4]{g}}+ \frac{\hbar^2R}{8} +{\cal O}(\hbar^3),$ cf. referencias 1 y 2. El primer término en eq. (3) es la conjetura ingenua, cf. mi respuesta Phys.SE aquí . La corrección de dos bucles proporcional a la curvatura escalar. $R$ es una sorpresa, que presagia que una comprensión completa de la correspondencia (1) va a ser complicada.

Referencias:

F. Bastianelli y P. van Nieuwenhuizen, Integrales de trayectoria y anomalías en el espacio curvo, 2006.
B. DeWitt, Supermanifolds, Universidad de Cambridge. Prensa, 1992.

Entonces, ¿cuál es la teoría correcta si ambas difieren? ¿Podemos decir que la integral de trayectoria no se puede tomar para definir la teoría y que debe derivarse del formalismo del operador?
Hola Ryder Rude: Esa es una opinión popular entre los físicos.

CGH · Answer 2

Respuesta corta a su pregunta: sí. No hay razón para que la integral de trayectoria y el formalismo del operador sean equivalentes.

Un ejemplo sencillo son todas las teorías no lagrangianas. Conocemos (algunos de) ellos a través de su álgebra de operadores, pero no hay un Lagrangiano correspondiente. Esto puede sonar extraño para la mayoría de las personas, como yo mismo no hace mucho tiempo, pero no es difícil de entender. Lagrangianas sólo se definen a través de su acción clásica (el límite $\hbar \to 0$ ,) que no es más que el límite de acoplamiento débil (me he dado cuenta de que muchos libros de QFT no mencionan este hecho). Si tiene una teoría que solo vive en un punto fijo fuertemente acoplado, entonces no puede construir un Lagrangiano. Como ejemplo de esto, simplemente busque en Google "teorías no lagrangianas". En mi caso, me sale este artículo http://arxiv.org/abs/1505.05834 con una muy buena introducción.

Esto es solo para responder al título.

Con respecto al cuerpo principal, creo que estás confundido. Primero, debe comprender que la equivalencia de la integral de ruta y el formalismo del operador que ve en su libro de texto QFT no es casual, es por construcción. Así que no, nunca vas a enviar spam a un espacio de Hilbert diferente trabajando con dos formalismos de la "misma teoría". El punto (2) de Qmechanic es exacto en este sentido. Como sabe cómo formular el formalismo IP para esas teorías, obtendrá la misma respuesta.

En segundo lugar, usted argumentó que el LFH de (10) podría ser diferente. La verdad es que no puede. La razón es simple: el propagador simplemente mueve un estado en el espacio-tiempo, no lo cambia, es por definición. Por lo tanto, sólo puede obtener $1_{\mathcal H}$ . Si alguna vez obtiene algo más, entonces está mirando el objeto equivocado como propagador.

Por último, siempre hay que tener cuidado al hablar de la Integral de Ruta de cualquier cosa: está llena de puntos sutiles. En realidad, a partir de hoy, no se sabe qué es QFT, por lo que también debe tener cuidado al hablar sobre el formalismo del operador de cualquier cosa.

luiz cl botelho · Answer 3

La equivalencia real debe buscarse en una formulación euclidiana, tanto para el enfoque del operador (ahora un álgebra de operadores de campos autoadjuntos computativos) como para el (ahora bien definido como un objeto matemático en un esquema de corte) Nelson-Feynman-Kac-Schwinger Euclidean QFT Integral de trayectoria Se espera que la QFT minkowskiana real se obtenga a través de la continuación analítica en el tiempo euclidiano de las funciones de Green QFT euclidianas de n puntos (no ordenadas en el tiempo).

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