Por qué el hamiltoniano y el lagrangiano se usan indistintamente en los cálculos de perturbaciones QFT

Siempre que uno necesita calcular funciones de correlación en QFT usando perturbaciones, se encuentra con la siguiente expresión:

⟨ 0 | s o metro mi   o pag mi r a t o r s × Exp ⁡ ( i S ( t ) ) | 0 ⟩

donde, dependiendo del libro de texto, S es (hasta un signo)

  1. ∫ L d t dónde L es la interacción lagrangiana

    o

  2. − ∫ H d t dónde H es la interacción hamiltoniana.

Es sencillo demostrar que si no tiene derivadas temporales en los términos de interacción, estas dos expresiones son equivalentes. Sin embargo, estas expresiones se derivan a través de diferentes enfoques y no puedo explicar a partir de principios básicos por qué (y cuándo) están dando la misma respuesta.

El resultado 1 proviene del enfoque de integral de camino donde comenzamos con un Lagrangiano y hacemos una perturbación con respecto a la acción que es la integral del Lagrangiano. Aproximadamente, la exponencial es la amplitud de probabilidad de la trayectoria .

El resultado 2 proviene del enfoque enseñado en QFT 101: a partir de la ecuación de Schrödinger, adivinamos las generalizaciones relativistas (Dirac y Klein-Gordon) y adivinamos las relaciones de conmutación que se utilizarán para la segunda cuantificación. Luego procedemos a la teoría de perturbaciones habitual en la imagen de interacción. Aproximadamente, la exponencial es el operador de evolución temporal .

¿Por qué y cuándo los resultados son los mismos? ¿Por qué y cuándo la amplitud de probabilidad del enfoque de integral de trayectoria es aproximadamente lo mismo que el operador de evolución temporal?

O replanteado una vez más: ¿Por qué el punto de vista donde la exponencial es una amplitud de probabilidad y el punto de vista donde la exponencial es el operador de evolución dan los mismos resultados?

Hay un cambio de signo en 1 o en 2.

Respuestas (4)

De L = H 0 − V y H = H 0 + V se ve que (para teorías bastante simples) la interacción lagrangiana y la interacción hamiltoniana difieren solo en un signo.

¿Qué condiciones debe tener una teoría para ser considerada lo suficientemente simple para que ambas formulaciones sean equivalentes?
Creo que reafirmaste la ingenua razón que ya di por la que todo esto funciona. Sin embargo, no veo por qué es cierto desde los primeros principios. Perdón por la vaguedad del comentario.
@Krastanov: no hay principios básicos para esto. Para un Lagrangiano general no de la forma L = T − V , la equivalencia no es cierta.

Bueno, otra razón por la que este puede ser el caso es que la acción es la misma en ambos casos. O empiezas con la acción S = ∫ L , o comienzas con la llamada acción de espacio de fase del hamiltoniano S = ∫ pag q ˙ − H . Dada la definición del hamiltoniano, debería quedar claro que estas dos expresiones son formalmente idénticas si tiene un mapeo invertible del conjunto ( pag , q ) → ( q , q ˙ ) . Dado que los términos de interacción normalmente no involucran las derivadas temporales de las variables de configuración (aunque hay excepciones), no sorprende que la parte del formalismo que involucra solo interacciones resulte formalmente casi idéntica.

No entiendo la parte de comenzar desde la "acción de espacio de fase". No creo que nunca haya hecho algo así (soy un novato).
@Krastanov: comience con la "acción de espacio de fase" que puse arriba y varíe con respecto a pag y q . El resultado será que obtienes las ecuaciones de movimiento de Hamilton. Es solo una forma linda de hacer que el formalismo hamiltoniano parezca más "principio de acción mínima".

Partiendo de la formulación hamiltoniana de QM, se puede derivar el formalismo de integral de trayectoria (ver capítulo 9 en el volumen 1 de QFT de Weinberg), donde se encuentra que la acción hamiltoniana es proporcional a ∫ d t ( pag v − H ) .

Para una subclase de teorías con "un hamiltoniano que es cuadrático en los momentos" (consulte la sección "9.3 Versión lagrangiana de la fórmula Path-Integral" en el libro de texto anterior), el término ( pag v − H ) se puede transformar en un lagrangiano L H = ( pag v − H ) . Entonces la acción lagrangiana es proporcional a ∫ d t L H . Ambas acciones dan los mismos resultados porque una es exactamente equivalente a (y derivada de) la otra .

∫ d t ( pag v − H ) = ∫ d t L H

Además, cuando se trabaja en la representación de interacción no se utiliza el hamiltoniano total sino solo la interacción. La derivación de la acción hamiltoniana es la misma, excepto que ahora el hamiltoniano total se sustituye por el hamiltoniano de interacción V . Nuevamente, tiene dos formas equivalentes de escribir la acción en forma hamiltoniana o lagrangiana.

Si considera hamiltonianos cuya interacción V no depende de los momentos, entonces el pag v término se desvanece y la equivalencia anterior entre las acciones se reduce a

− ∫ d t V = ∫ d t L V

donde, evidentemente, la interacción lagrangiana es L V = − V

Esto es lo que sucede, por ejemplo, en QED, donde la interacción V depende tanto de la posición como de Dirac α pero no en los momentos.

Nota: Hay un error de señal en su publicación. No puedo editar porque tiene menos de 10 caracteres y he notado el error en un comentario que te hice arriba, pero permanece.

¿La exponencial en forma 1) no es también un operador? Entonces no es realmente la amplitud de probabilidad de una trayectoria, como afirmas. Ambas formas parecen derivarse del mismo origen, a saber, el formalismo hamiltoniano, y ambas exponenciales tienen el estatus de operador de evolución temporal en la imagen de interacción. En el enfoque integral de la ruta, la expresión sería la bestia formalmente bastante diferente:

⟨ 0 | algunos operadores mi i S [ ϕ ^ ] | 0 ⟩ = ∫ D ϕ algunas funciones (campos) mi i S [ ϕ ] ,
donde ahora el exponencial del lado derecho es un número c que de hecho puede interpretarse como la amplitud de una configuración de campo ϕ ( X ) . La integral es una suma de todas las configuraciones de campo ponderadas.

Si quiere ver rápidamente por qué esto debería ser lo mismo que su expresión, recuerde que el estado fundamental | 0 ⟩ no es un estado propio del operador de evolución o de los operadores de campo, en general. Sin embargo, puede expandirse como una suma de estados propios de campo (estados coherentes). Luego puede ver de inmediato que la expansión dará una suma de contribuciones de números c, que también representan configuraciones de campo ponderadas por una función exponencial. Si realmente quiere hacer esto correctamente, tendrá que hacer otras cosas como discretizar el espacio-tiempo e insertar conjuntos completos de estados propios de campo en cada punto. Esto se trata en la mayoría de los textos de teoría de campos, por ejemplo, Peskin & Schroeder, o Altland & Simons.

gracias por las correcciones, sin embargo no cambian mi pregunta: ¿Por qué el punto de vista donde la exponencial es una amplitud de probabilidad y el punto de vista donde la exponencial es el operador de evolución dan los mismos resultados?
Bueno, si realmente quieres entender por qué dan los mismos resultados, solo tienes que pasar por la derivación, como con cualquier otra cosa en la física matemática. Lo que estaba tratando de decir es que ambas exponenciales representan, en última instancia, amplitudes que ponderan las posibles configuraciones de campo. Para calcular las probabilidades de transición, los valores esperados o lo que sea, siempre se suman las amplitudes de caminos indistinguibles entre los estados inicial y final.
(cont.) En el formalismo de la integral de trayectoria, esta suma es explícita, y generalmente hablamos de una contribución dominante proveniente de la trayectoria estacionaria clásica d S / d ϕ = 0 , con fluctuaciones cuánticas alrededor del camino estacionario suprimidas por un factor mi i S / ℏ . En el formalismo hamiltoniano, la suma está "oculta" dentro de los operadores, y aparece porque las relaciones de conmutación distintas de cero entre operadores significan que los estados interesantes (p. ej., el estado fundamental, los estados propios del número de partículas...) no serán estados propios del interacción hamiltoniano/lagrangiano.
(cont.) Entonces, en el formalismo del operador, son las relaciones de conmutación las que implican fluctuaciones. Pero el significado físico es el mismo. Me gusta pensar en los operadores como dispositivos algebraicos de contabilidad que reproducen los resultados del formalismo de integral de camino. Pero todo esto es terriblemente vago e impreciso, y probablemente irritará a algún otro usuario de este sitio que tenga una opinión personal diferente sobre el significado del formalismo. Si quiere entender por sí mismo, realmente necesita pasar por la derivación de un formalismo al otro en, digamos, una de las referencias que di.
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