¿Cuál es la conexión entre el espacio de Hilbert y las integrales de trayectoria?

Dado un espacio de estados$|\rangle$,$|x\rangle$,$|x,y\rangle$, con los operadores de creación como$\hat{\phi}(x)|y,z\rangle=|x,y,z\rangle$para crear una partícula en la posición$x$etcétera.

¿Cómo se relaciona esto con las integrales de trayectoria?

p.ej

$$\Delta(x,0;y,t) = \int \phi(x,0)\phi(y,t) \exp(i S[\phi] ) D\phi$$

¿Cómo obtenemos esto usando operadores de creación y aniquilación?

intenté configurar$|\rangle = \Psi_0[\phi]$para algún estado fundamental pero$a^+(x)\Psi_0[\phi] \neq \phi(x)\Psi_0[\phi]$entonces me quedé atascado. También porque entonces terminaría con el estado fundamental dentro de la integral de ruta que no estaría bien.

Editar

Permítanme aclarar un poco.

Digamos que tienes una onda funcional$\Psi[\phi,t]$que satisface la segunda ecuación de Shrodinger cuantificada:

$$i\frac{d}{dt}\Psi[\phi,t] = \left(-\frac{\delta^2}{\delta\phi(x)^2}-\nabla \phi(x)^2 +m^2\phi(x)^2\right) \Psi[\phi,t]$$

y tiene un estado fundamental de la forma:

$$\Psi_0[\phi] = \exp\left( \int \phi(x)s(x-y)\phi(y) \right)$$

Este es el estado de vacío.$|>$

Ahora quiero encontrar el propagador de Feynman. Entonces quiero algo como:

$$\Delta(x,0;y,t) = \int \Psi[\phi_0]\Phi[\phi_t] \exp(i S[\phi] ) D\phi$$

para algunos funcionales de onda particulares. Pero quiero encontrar los estados de una partícula para poner. Si configuro$\Psi[\phi_t] = \phi_t(x)\Psi_0[\phi_t]$por ejemplo, obtengo el estado fundamental dentro de la integral, que no es lo que quiero. ¿Es correcto expandir el funcional de onda como:

$$\Psi[\phi,t] = \left(\psi_t + \int \psi_t(x)\phi(x)dx^3 + \int \psi_t(x,y)\phi(x)\phi(y) dx^3 dy^3+...\right)\Psi_0[\phi]$$

donde los términos corresponden a los estados$|x,y,..;t>$. ¿O debería usar operadores como$a^+(x)$donde el hamiltoniano es:

$$H=\int\{a^+(x),a^-(x)\}dx^3$$

y

$$a^\pm(x) = \frac{\delta}{\delta \phi(x)} \pm \int s(x-y) \phi(y) dy^3$$

De cualquier manera que lo mire, siempre termino con el estado fundamental en la integral en lugar de solo:

$$\Delta(x,0;y,t) = \int \phi(x,0)\phi(y,t) \exp(i S[\phi] ) D\phi$$

Mira aquí es solo$\phi(x)$no$\phi(x)\Psi_0[\phi] =\hat{\phi}(x)|>$. ¿Qué estoy haciendo mal? ¿Cómo puedo deshacerme del estado fundamental de la integral?

Editar 2

Lo único que se me ocurre es que el estado fundamental no es lo mismo que el estado sin partículas. Si el estado sin partículas es$\Psi_{NP}[\phi]=const$entonces creo que esto lo resuelve. ¿Es esto cierto o el estado sin partículas es igual al estado fundamental? Pero en ese caso, ¿qué hacen los operadores?$a^\pm(x)$¿corresponden a las? ¿Significan excitaciones en el campo en oposición a la creación de partículas?