Cuestiones conceptuales sobre la formulación de la integral de trayectoria de QFT

Actualmente estoy tratando de aprender por mí mismo la formulación de la integral de ruta de QFT (habiendo estudiado el enfoque canónico anteriormente), pero tengo algunas dificultades conceptuales que espero poder aclarar aquí.

Para simplificar, considere el caso de un solo campo escalar real libre. La formulación de la integral de trayectoria para un correlador de dos puntos en este caso viene dada por

$$\langle 0\lvert T\lbrace\hat{\phi}(x)\hat{\phi}(y)\rbrace\lvert 0\rangle =(-i^{2})\frac{1}{Z[0]}\frac{\delta^{2}Z[J]}{\delta J(x)\delta J(y)}\bigg\lvert_{J=0}$$ dónde $$Z[J]=\int\mathcal{D}\phi\; e^{i\int d^{4}x\left(-\frac{1}{2}\phi (\Box +m^{2})\phi+J(x)\phi (x)\right)}$$ es el generador funcional para la teoría libre.

Aquí es donde radica mi problema. son los campos$\phi (x)$en lo funcional$Z[J]$campos clásicos o son campos de operadores?

Si son campos clásicos, entonces la integral de trayectoria define algún tipo de mapeo entre operadores de campo$\hat{\phi}(x)$y sus análogos clásicos (número c)?

Los libros que he estado leyendo hasta ahora (el libro QFT de Srednicki y "QFT & the Standard Model" de M. Schwartz) parecen un poco ambiguos en esta área.