Infinite Wells y funciones delta

Uno puede ver tanto (i) la pared infinita

$$\tag{1} V(x)~=~\left\{\begin{array}{ccc}\infty & \text{for} & x>0, \\ 0 & \text{for} & x\leq 0, \end{array} \right.$$

y (ii) el potencial de la función delta

$$\tag{2} V(x)~=~A\delta(x),$$

como límite apropiado de un muro de barrera finito

$\tag{3} V(x) ~=~ V_0 1_{[0,a]}(x)=\left\{\begin{array}{cc}V_0 & \text{for } 0<x<a \\ 0 & \text{otherwise} & \end{array} \right.$

dejando (i)$a=\infty$y (ii)$a=A/V_0$, respectivamente, y tomando el límite$V_0\to \infty$.

para energías$E<V_0$menos que la altura de la barrera (3), el ODE TISE de segundo orden produce soluciones exponencialmente crecientes y exponencialmente crecientes dentro de la barrera (3).

(i) Por un lado, para una pared infinitamente gruesa$a=\infty$, la solución de crecimiento exponencial es físicamente inaceptable y, por lo tanto, descartada, de modo que$\psi(\infty)=0$. Por lo tanto, aprendemos que la función de onda decae exponencialmente cuando ingresa a la pared de potencial en$x=0$. La profundidad de penetración característica inversa es proporcional a$\sqrt{V_0-E}$. Así en el límite$V_0\to \infty$, la profundidad de penetración característica es cero, es decir, obtenemos la condición de contorno buscada$\psi(x=0)=0$, si suponemos que la función de onda es continua$^1$.

(ii) Por otro lado, para una pared de espesor finito$a<\infty$, la solución de crecimiento exponencial también puede ser relevante, y$\psi(x=0)=0$no tiene que estar satisfecho.

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$^1$Continuidad de la función de onda$\psi$puede justificarse para una amplia clase de potenciales$V$a través de un argumento de arranque en el TISE en forma integral. Ver también, por ejemplo, mi respuesta Phys.SE aquí .

El pozo de potencial infinito es una idealización en la que imaginamos que, como ya ha dicho Kyle Kanos en su respuesta, estamos confinando completamente la partícula a un intervalo$(-a,a)$en la línea real. Dado que el módulo al cuadrado$|\psi(x)|^2$de la función de onda en un punto$x$en el eje real representa la probabilidad (densidad) de encontrar la partícula en una posición dada$x$, una partícula que está confinada a la región$(-a,a)$debe tener cero probabilidad de ser encontrado en esa región, por lo que imponemos la condición de contorno$|\psi(x)|^2 = 0$para todos$x\geq a$y para todos$x\leq-a$lo que implica que$\psi(x) = 0$para todos estos valores de$x$.

Hasta ahora, esto es esencialmente solo una reafirmación de lo que Kyle ya ha dicho, pero profundicemos un poco más para comprender lo que sucede físicamente.

Puede pensar para sí mismo "bien, dada la idealización descrita anteriormente del confinamiento de la partícula, las condiciones de contorno tienen sentido intuitivo, pero en el mundo real, no existe tal cosa como un potencial infinito. Sin embargo, podemos producir muy grandes potenciales en el mundo real. Estaría más convencido de las condiciones de contorno del pozo cuadrado infinito si pudiéramos demostrar que dado un pozo de potencial finito de fuerza$V_0$, el comportamiento de la función de onda en las regiones de alto potencial se acerca cada vez más al de su comportamiento para el potencial infinito así como$V_0$se toma cada vez más grande.

De hecho, podemos demostrar que este es el caso de los vectores propios de energía del pozo de potencial finito.

Considere un estado ligado de una partícula en un pozo de potencial finito de fuerza$V_0$, a saber

$$\begin{align} V(x) = \left\{\begin{array}{cl} 0 & ,|x|<a \\ V_0 & ,|x|\geq a \end{array}\right. \end{align}$$ Un estado ligado ocurre cuando la energía de la partícula es menor que la energía potencial máxima, es decir, cuando $E<V_0$, entonces para las regiones $|x|\geq a$la ecuación de valor propio de energía (también conocida como ecuación de Schrödinger independiente del tiempo) da $$\begin{align} \psi''(x) = \kappa^2\psi(x), \qquad \kappa^2 = -\frac{2m(E-V_0)}{\hbar^2} \end{align}$$ La solución general es una exponencial creciente o decreciente $\psi(x) = A e^{\pm \kappa x}$. Para que la función de onda sea normalizable, esto nos dice que la solución general fuera del pozo es $$\begin{align} \psi(x) = \left\{\begin{array}{cl} A_-e^{\kappa x} & ,x\leq -a \\ A_+ e^{-\kappa x} & ,x\geq a \end{array}\right. \end{align}$$ Ahora aquí está lo bueno. por un fijo $E$, si tomamos $V_0\to\infty$, entonces $\kappa\to\infty$, y esto significa que la función de onda decae más y más rápido fuera del pozo a medida que aumentamos el potencial. De hecho, para un determinado $E$y $x$, tenemos $\psi(x)\to 0$como $V_0\to \infty$para todos $|x|\geq a$.

Desde esta perspectiva, podemos ver las condiciones de contorno del pozo cuadrado infinito como obtenidas de un límite del pozo cuadrado finito en el que el pozo es "infinitamente profundo".

Nótese, también, que desde este punto de vista, un par de funciones delta no es equivalente al pozo cuadrado infinito porque eso correspondería a un límite infinito de un par de picos de potencial finitos en las posiciones$\pm a$, y esa simplemente no es la situación física que estamos tratando de modelar cuando discutimos el pozo potencial.

Cuando considere una barrera de potencial, verá que la función de onda de una partícula con energía definida decaerá exponencialmente a una velocidad que depende de la diferencia del potencial y la energía. Precisamente, el exponente es proporcional a$\sqrt{V - E}$.

En el límite, por$V\to\infty$, decaerá a 0 sobre un ancho 0.

Una función delta no existe como función, pero es un límite de funciones (en una topología adecuada). Para este problema es más fácil considerar funciones de bloque: funciones de ancho w y alto 1/w. La distribución delta es el límite como$w\to 0$. No puede tomar primero el límite de la altura yendo al infinito, seguido por el ancho yendo a 0, algo que implícitamente está haciendo.

Ahora para un fijo$w$obtienes un valor para la función de onda del otro lado de la barrera dependiendo del valor de este lado. Cuando la altura sube, el decaimiento será más rápido, pero también caerá en un intervalo más corto y, de hecho, el decaimiento será menor porque el exponente del decaimiento contiene una raíz cuadrada. En el límite no hay disminución de la altura en absoluto, en particular, tiene continuidad, pero no hay razón para terminar en 0.

Está confinando la partícula en una región de$|x|< a$con un potencial infinito que se extiende infinitamente lejos para$|x|\geq a$: Fuente de la imagen

Dado que estamos confinando la partícula a una región particular (aplicando un potencial fuera de esta región), nunca encontrará la partícula fuera de esta región, por lo que la función de onda,$\psi$, debe ser cero a partir de$|x|=a$.

Entonces, ¿por qué necesita llegar a cero en las paredes del pozo infinito?

Porque la forma correcta de encontrar$\psi$es resolver Schr. ecuación para el pozo de potencial finito primero y encuentre cómo$\psi$depende de los parámetros del potencial. Luego trata de hacer bien el límite al potencial infinito y mira lo que le pasa al$\psi$función.

No se puede resolver Schr. ecuación para algo como "potencial infinito" directamente, porque "potencial infinito" no es una función válida.

Debido al requisito de normalización de$\psi$, en el caso de pozo finito, la$\psi$función decae a cero para grandes$x$, y el procedimiento de limitación conduce a continua$\psi$incluso en el límite y en la condición de contorno donde$\psi$es cero fuera del pozo

Incluso siento que la pared del pozo es equivalente a una suma de funciones delta...

Cierto, el potencial constante$V_0$fuera del pozo finito se puede escribir como

$$V(x) = V_0 \int_{(-\infty,-a)+(a,\infty)} \delta(x-x_0)dx_0.$$

Sin embargo, en general, la solución del Schr. ecuación,$\psi$, no viene dado por el operador lineal que actúa sobre el potencial$V(x)$figurando en el Schr. ecuación. No hay razón para esperar que el$\psi$función para$V(x)$será suma de funciones$\psi_{x_0}$que son soluciones a Schr. ecuación con potencial delta$V_0 \delta(x-x_0)$.