¿Qué tan rápido se desvanece una función de onda en el infinito?

Pregunta muy interesante! Comenzaré describiendo algunos de los conceptos básicos matemáticos para esta pregunta:

• Estás buscando un estado acotado de algún potencial$V$, es decir, un estado sin dispersión. Matemáticamente, esto se traduce en un$L^2$-función propia integrable del operador de Schrödinger$-\Delta+V$.

• Por regularidad elíptica, para estas funciones obtienes instantáneamente lo que entiendo como tu condición (3) (La afirmación más precisa sería que$\psi$se encuentra en el dominio de la versión autoadjunta de$\hat{p}$). Básicamente, el argumento aquí es que$\psi$tiene que ser dos veces diferenciable, al reorganizar la ecuación de Schrödinger, para su clase de potenciales tendrá$\Delta \psi\in L^2$, por transformada de Fourier se obtiene que la primera derivada también será$L^2$. Por eso,$\hat{p}$está bien definido para$\psi$.

La idea básica de por qué la mayoría de los estados ligados con los que se encontrará están decayendo exponencialmente proviene de la siguiente idea: suponga que lejos del origen,$V$es monótono, es decir, no oscila. Esto nos permite estimar$V$desde abajo por un potencial de caja, lo que implica que un estado acotado de$V$estará dominado por un estado acotado del potencial de caja. Los estados acotados de los potenciales de caja decaen exponencialmente, por lo tanto, el estado decaerá exponencialmente. Este argumento se puede hacer explícito utilizando principios máximos para PDE elípticas, puede aumentar los detalles matemáticos en, por ejemplo

Berezin y Shubin, La ecuación de Schrödinger (Springer 1991).

Entonces, a partir de esta argumentación, la respuesta a su pregunta es casi no para los potenciales que son monótonos en el exterior. Por "casi", quiero decir que puede haber tales funciones en valores distinguidos, pero físicamente irrelevantes de$E$, por ejemplo, considere el potencial

Ahora puede comprobar que$\psi(x)=\frac{2}{\sqrt{\pi}}\frac{1}{1+x^2}$es una función propia normalizada para este potencial con valor propio 0. El operador de impulso está bien definido para este$\psi$y$\psi$obviamente decae solo polinomialmente para$x\rightarrow\infty$. Entonces, ¿qué pasó aquí? Si intenta usar el argumento de "caja", compararía con una caja que es completamente negativa lejos del origen (recuerde, la caja estima el potencial desde abajo), ¡así que 0 ya es un estado de dispersión para la caja! Sin embargo, al observar el potencial, verá que esto solo puede ser el caso para este valor exacto de$E$- incluso para un$\epsilon$más energía, obtendrá un estado de dispersión ya que$V\rightarrow 0$por$x\rightarrow \infty$; y por un$\epsilon$menos, obtendrá un estado límite que puede estimar nuevamente por un cuadro, por lo tanto, decae exponencialmente. Dado que no puede preparar un estado con una energía exacta, esto no es físicamente relevante. En términos generales, este fenómeno sólo debería ocurrir en$E=\limsup_{|x|\rightarrow\infty}V(x)$, ya que esto corresponderá a la energía más baja posible para los estados de dispersión.

Entonces, ¿qué puede pasar si abandonamos la condición de "monotonicidad-lejos-afuera"? Creo que en este caso, debería ser posible obtener el tipo de estados que está buscando. Mi intento de construcción es el siguiente: Dejemos$V$Sea una colección de potenciales de caja donde las cajas tienen altura constante y se vuelven más delgadas a medida que$x$se vuelve más grande, por ejemplo, algo que se parece vagamente a esto:

Si le molestan las infinitas discontinuidades, el comportamiento que describiré debería ser exactamente el mismo para una versión suavizada de este potencial.

Ahora, un estado ligado de este potencial oscilaría alrededor$0$dónde$V=-0.5$y decaer donde$V=+0.5$. La tasa de decaimiento (exponencial) donde$V=0.5$es siempre el mismo, al controlar el ancho de las cajas, puede controlar exactamente qué tan rápido decae su estado límite, por ejemplo, puede lograr que cada vez que pase la parte positiva de la caja, su amplitud disminuya a la velocidad$1/x^2$. Los detalles son probablemente muy técnicos y sospechosos, pero creo que, en principio, esto debería funcionar.