Interpretación de las condiciones de contorno en la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo

La ecuación de Schrödinger independiente del tiempo:

  − ℏ 2 2 metro d 2 ψ d X 2 + V ψ = mi ψ

es de segundo orden, por lo que deberíamos esperar que la solución tenga dos "grados de libertad" que pueden fijarse especificando las condiciones de contorno. Sin embargo, en al menos algunos casos, imponer el requisito de normalización de la función de onda determina esas condiciones.

Por ejemplo, el pozo de potencial cuadrado infinito tiene una solución general A pecado ⁡ ( k X ) + B porque ⁡ ( k X ) . La constante k está determinada por el ancho del pozo, por lo que podemos elegir dos valores (A y B) como se esperaba. Sin embargo, la continuidad requiere que B = 0, y el requisito de normalización termina fijando el valor de A.

El oscilador armónico cuántico termina de manera similar: la solución general tiene un término que dice así A mi − X 2 y otra que va como B mi X 2 , pero el requisito de normalización obliga a B a 0 y, en última instancia, determina A.

Mis preguntas:

  1. ¿Qué interpretación física podemos asignar a la elección de las condiciones de contorno para la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo? ¿Existe algo parecido a la interpretación de "posición inicial y velocidad" para la segunda ley de Newton?

  2. ¿Bajo qué circunstancias la imposición del requisito de normalización de la función de onda determina las condiciones de contorno?

Más sobre Schr. ec. y condiciones de contorno: physics.stackexchange.com/q/177851/2451 y sus enlaces.

Respuestas (3)

En los ejemplos que ha dado, las condiciones de contorno simplemente dicen "no tener energía infinita" y "no ser no normalizable". Estos realmente no tienen una interpretación física.

Además, ninguna condición de contorno tiene una interpretación como "posición y velocidad iniciales" porque la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo describe estados estacionarios. No hay evolución temporal en estos estados, ¡así que una condición inicial no tiene sentido!

Sin embargo, si resuelve la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo usando un potencial V ( X ) que no va al infinito como X va al infinito, entonces obtienes soluciones ψ ( X ) que no son estados vinculados: tendrán un comportamiento complicado dentro del pozo de potencial, luego se verán como mi i k X en el infinito Imponer la condición de contorno "parecer mi i pag X en el infinito" significa físicamente que desea considerar la dispersión de partículas con el impulso entrante k = pag .

  1. La elección de las condiciones de contorno fija el dominio y, por lo tanto, una extensión autoadjunta de su operador de Schroedinger

    − ℏ 2 2 metro Δ + V .
    A su vez, esta elección determina el espectro de ese operador, es decir, los valores propios mi . (No hay analogía con las condiciones iniciales aquí.)

  2. ¡No circunstancias! Las condiciones de contorno no están correlacionadas con la normalización, ya que solo definen un subespacio del espacio de Hilbert, el dominio del operador anterior, y si ψ pertenece a ese subespacio también C ψ hace por cada C ∈ C .

Hasta donde yo sé, y solo soy un estudiante universitario, las condiciones de contorno en las ecuaciones de Schrödinger existen para contener algún subespacio especial del espacio de Hilbert del sistema o el espacio de Hilbert como un todo.

Los estados ligados, por ejemplo, forman un subespacio en el espacio de Hilbert. La condición de frontera para eso es que ψ ∼ mi − r en el infinito, para cada vez.

Los estados de dispersión, son paquetes de ondas que en t = ± ∞ comportarse como un paquete de onda libre (envolvirse a tiempo por − ℏ 2 2 metro ∇ 2 en lugar de H ).

Resulta que los estados propios de energía, las soluciones de las ecuaciones de Schrödinger independientes del tiempo, son siempre estados ligados. Esto es así porque las ondas planas no se pueden normalizar, pero siempre se pueden construir paquetes de ondas planas. Estos paquetes de ondas son los estados de dispersión. A veces se puede considerar un estado como | k ⟩ para una onda plana y para fines prácticos, esto funciona bien todo el tiempo. Pero, a veces, como la demostración del teorema de Lippmann-Schwinger , las cosas se complican un poco y es bueno recordar esto de los paquetes de ondas.

Para la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo, la condición de contorno podría ser simple: el requisito de que las funciones de onda se puedan normalizar. Esta es una característica especial de la ecuación independiente del tiempo. La explicación física es simple: los estados propios que están acotados son los únicos estados que son independientes del tiempo (obtienen solo una fase) y pueden normalizarse. Otro estado normalizable que no está acotado depende necesariamente del tiempo, porque debe ser un paquete de ondas para ser normalizable, las ondas planas no lo son.

La cuantización de la energía en estados ligados proviene de las condiciones de contorno de la ecuación de Schrödinger. La condición de contorno impone que algunos números deben cuantificarse, como el momento angular y la energía. La energía se debe al hecho de que la función de onda está acotada en el espacio, y el momento angular se debe a las simetrías del espacio.

En realidad, esta es la naturaleza de la cuantización de las cantidades físicas. El hecho de que una partícula, o algo, se localice en una región finita suficientemente estrecha, la interferencia sobre las amplitudes de probabilidad es importante y solo habría algunos estados estacionarios para estas interferencias.

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