Mecánica cuántica en campo eléctrico

Question

Mecánica cuántica en campo eléctrico

usuario57568

Considere una partícula cargada con carga $q$ atrapado en una caja de longitud $L$ con potencial constante finito $V_0$ en ambos extremos. Un campo eléctrico constante (estático) de magnitud $F$ se aplica desde $- \infty$ a $+ \infty$ .

He dividido todo el dominio en tres regiones.

de $-\infty$ a $0$ como región I
de $0$ a $L$ como región II
de $L$ a $+\infty$ como región III

Ecuaciones:

La ecuación de Schrödinger para la región II es $- \frac{ℏ^{2}}{2 metro} \frac{d^{2} ψ}{d X^{2}} + q F X = mi ψ .$ $-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2\psi}{dx^2} + qFx =E\psi \, .$
La ecuación de Schrödinger para las regiones I y III es $- \frac{ℏ^{2}}{2 metro} \frac{d^{2} ψ}{d X^{2}} + q F X + V_{0} = mi ψ .$ $-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2\psi}{dx^2} + qFx +V_0=E\psi \, .$

Soluciones:

Región I
$ψ (X) = C_{4} Ai [α (V_{0} + F q X - {mi}_{norte})] + C_{5} Bi [α (V_{0} + F q X - {mi}_{norte})]$ $\newcommand{\Ai}{\operatorname{Ai}} \newcommand{\Bi}{\operatorname{Bi}} \psi(x) = c_4 \Ai[\alpha(V_0 + Fqx - E_n)] + c_5 \Bi[\alpha(V_0 + Fqx - E_n)]$
Región II
$ψ (X) = C_{1} Ai [α (F q X - {mi}_{norte})] + C_{2} Bi [α (F q X - {mi}_{norte})]$ $\psi(x) = c_1 \Ai[\alpha( Fqx - E_n)] + c_2 \Bi[\alpha(Fqx - E_n)]$
Región III
$ψ (X) = C_{3} Ai [α (V_{0} + F q X - {mi}_{norte})]$ $\psi(x) = c_3 \Ai[\alpha( V_0 + Fqx - E_n)]$ (El $\Bi$ parte está excluida porque explota en $+\infty$ .)

dónde $c_1 , c_2 , c_3 , c_4 , c_5$ son constantes, $\alpha = \left( 2^{1/3}m /\hbar^2 \right) \left(Fmq / \hbar^2 \right)^{2/3}$ , $\Ai$ y $\Bi$ son funciones de Airy de primer y segundo tipo respectivamente, y $E_n$ son valores propios de la energía.

La aplicación de las condiciones de contorno da las siguientes cuatro ecuaciones:

\begin{aligned} C_{4} Ai [α (V_{0} - {mi}_{norte})] + C_{5} Bi [α (V_{0} - {mi}_{norte})] & = C_{1} Ai [α (- {mi}_{norte})] + C_{2} Bi [α (- {mi}_{norte})] \\ C_{4} {Ai}^{'} [α (V_{0} - {mi}_{norte})] + C_{5} {Bi}^{'} [α (V_{0} - {mi}_{norte})] & = C_{1} {Ai}^{'} [α (- {mi}_{norte})] + C_{2} {Bi}^{'} [α (- {mi}_{norte})] \\ C_{1} Ai [α (F q L - {mi}_{norte})] + C_{2} Bi [α (F q L - {mi}_{norte})] & = C_{3} Ai [α (V_{0} + F q L - {mi}_{norte})] \\ C_{1} {Ai}^{'} [α (F q L - {mi}_{norte})] + C_{2} {Bi}^{'} [α (F q L - {mi}_{norte})] & = C_{3} {Ai}^{'} [α (V_{0} + F q L - {mi}_{norte})] \end{aligned}

$\begin{align} c_4 \Ai[\alpha(V_0 - E_n)] + c_5 \Bi[\alpha(V_0 - E_n)] &= c_1 \Ai[\alpha( - E_n)] + c_2 \Bi[\alpha(- E_n)]\\ c_4 \Ai'[\alpha(V_0 - E_n)] + c_5 \Bi'[\alpha(V_0 - E_n)] &= c_1 \Ai'[\alpha( - E_n)] + c_2 \Bi'[\alpha(- E_n)]\\ c_1 \Ai[\alpha( FqL - E_n)] + c_2 \Bi[\alpha(FqL - E_n)] &= c_3 \Ai[\alpha( V_0 + FqL - E_n)]\\ c_1 \Ai'[\alpha( FqL - E_n)] + c_2 \Bi'[\alpha(FqL - E_n)] &= c_3 \Ai'[\alpha( V_0 + FqL - E_n)] \end{align}$

¿Cómo calculo los estados unidos? $E_n$ de estas ecuaciones? Además, estoy atascado por el hecho de que en ambos extremos de la caja $\psi$ se comporta diferente de lo que se ve en problemas triviales? Además, puedo usar software computacional como MATLAB, así que si alguien me puede ayudar con la técnica computacional para encontrar $E_n$ , eso está perfectamente bien.

DanielSank

Arreglé el primer símbolo de infinito y el símbolo hbar. Por favor, mira cómo lo hice y arregla el resto. No es difícil buscar en Google para averiguar cómo escribir símbolos en TeX.

Urgje

Deduzco de las ecuaciones que estás considerando un problema unidimensional. Eso no me parece realista.

usuario57568

@Urgje Mi motivo es probar el efecto marcado en los puntos cuánticos. Aunque se ha probado, pero hay una condición: la condición BDD que explica la discontinuidad masiva a través de las barreras (que aquí no he incluido en las ecuaciones para simplificarlas mientras busco CÓMO resolver las preguntas) que no se ha trabajado. en el dominio de la investigación. Así que he simplificado el modelo a un problema de 1 dimensión y mi objetivo es ver cómo BDD afecta los resultados. Entonces sí, el problema no es realista pero es útil para estudiar. Y dado que soy un estudiante de pregrado, es solucionable (sin un asesor, lamentablemente).

Urgje

Veo. Pero tenga en cuenta que las propiedades espectrales pueden ser bastante diferentes. ¿Y qué es BDD? La frase resultó ser imposible de googlear.

usuario57568

BDD = condición de Ben Daniel Duke

qmecanico

Cruzado a math.stackexchange.com/q/991791/11127

Michael Seifert

Tenga en cuenta que los términos en la ecuación de Schrödinger que surgen del campo eléctrico deben ser

(q F x + V_{0}) ψ

$(q F x + V_0) \psi$ , no

q F x + V_{0}

$q F x + V_0$ . (En otras palabras,

V ψ

$V \psi$ , No solo

V

$V$ .) Sin embargo, creo que sus soluciones de prueba son correctas.

Respuestas (3)

Mecánica cuántica en campo eléctrico

Arreglé el primer símbolo de infinito y el símbolo hbar. Por favor, mira cómo lo hice y arregla el resto. No es difícil buscar en Google para averiguar cómo escribir símbolos en TeX.
Deduzco de las ecuaciones que estás considerando un problema unidimensional. Eso no me parece realista.
@Urgje Mi motivo es probar el efecto marcado en los puntos cuánticos. Aunque se ha probado, pero hay una condición: la condición BDD que explica la discontinuidad masiva a través de las barreras (que aquí no he incluido en las ecuaciones para simplificarlas mientras busco CÓMO resolver las preguntas) que no se ha trabajado. en el dominio de la investigación. Así que he simplificado el modelo a un problema de 1 dimensión y mi objetivo es ver cómo BDD afecta los resultados. Entonces sí, el problema no es realista pero es útil para estudiar. Y dado que soy un estudiante de pregrado, es solucionable (sin un asesor, lamentablemente).
Veo. Pero tenga en cuenta que las propiedades espectrales pueden ser bastante diferentes. ¿Y qué es BDD? La frase resultó ser imposible de googlear.
Tenga en cuenta que los términos en la ecuación de Schrödinger que surgen del campo eléctrico deben ser $(q F x + V_0) \psi$ , no $q F x + V_0$ . (En otras palabras, $V \psi$ , No solo $V$ .) Sin embargo, creo que sus soluciones de prueba son correctas.

Ruslán · Answer 1

Primero, dado que el potencial es ilimitado desde abajo en el lado izquierdo, la partícula tiene un espectro continuo. Esto quiere decir que lo que tienes que hacer es calcular los coeficientes $c_i$ , tomando $E$ (¡real, nunca complejo!) como parámetro de entrada.

Uno de estos coeficientes, $c_3$ , es de hecho arbitrario, porque solo influye en la normalización, no en la suavidad de la función de onda. Por lo tanto, para calcular los coeficientes de conexión tienes que encontrar $c_1,c_2,c_4,c_5$ .

Y finalmente, su ecuación es un sistema simple de $4$ ecuaciones algebraicas con $4$ incógnitas si tomo $c_3=1$ y uso letras arbitrarias para denotar todas esas funciones de Airy y sus derivadas, obtengo

{\begin{aligned} C_{4} A + C_{5} B & = C_{1} C + C_{2} D, \\ C_{4} GRAMO + C_{5} H & = C_{1} I + C_{2} j, \\ C_{1} k + C_{2} L & = METRO, \\ C_{1} norte + C_{2} O & = PAG . \end{aligned}

$\left\{\begin{align} c_4A+c_5B&=c_1C+c_2D,\\ c_4G+c_5H&=c_1I+c_2J,\\ c_1K+c_2L&=M,\\ c_1N+c_2O&=P. \end{align}\right.$

resolverlo por $c_i$ y has resuelto casi todo tu problema. Ahora, si necesita funciones de onda normalizadas, debe usar algún esquema para la normalización de estados ilimitados, por ejemplo, la llamada "normalización por delta de Dirac", discutida, por ejemplo, en [1].

Referencias:

LD Landau y EM Lifshitz, Mecánica Cuántica. teoría no relativista , $\S5$ .

Vladímir Kalitvianski · Answer 2

Vladímir Kalitvianski

Es un sistema trascendental de ecuaciones donde $E_n$ es número(s) complejo(s) desconocido(s). Debe resolverse numéricamente. Si su pozo potencial es bastante profundo, puede encontrar $E_n$ en el pozo infinito y usarlos como aproximaciones iniciales para iteraciones numéricas en el caso real.

david z

Los comentarios no son para una discusión extensa; esta conversación se ha movido a chat .

Ruslán

@DavidZ lástima que MathJax no parece funcionar allí ...

david z

@Ruslan usa esto

xaxa

¿Por qué se vota esto negativamente? Esto es exactamente correcto. El potencial es ilimitado en un extremo, por lo que no hay estados vinculados (correspondientes a energías reales). Sin embargo, si el potencial

V_{0}

$V_0$ es lo suficientemente profundo, puede haber energías

E_{n} - i Γ_{n} / 2

$E_n-i\Gamma_n/2$ , aunque complejo, pero que describe "estados" casi estacionarios que se "evaporan" lentamente desde el interior del pozo.

Γ

$\Gamma$ correspondería a un tiempo de vida medio

τ

$\tau$ de un estado como

τ = ℏ / Γ

$\tau=\hbar/\Gamma$

Ruslán

@xaxa por todo lo que sé sobre los operadores hermitianos, las energías complejas no pueden ser valores propios de un hamiltoniano (a menos que no sea hermitiano). ¿Quiere decir que estas energías existen en algún sentido especial, sin solución propia? Fui yo quien rechazó esta respuesta, tal vez erróneamente debido a mi ignorancia. Pero todavía no veo por qué sería correcto.

xaxa

@Ruslan De hecho, los valores propios de un operador hermitiano son reales. Sin embargo, el potencial en cuestión va a

- \infty

$-\infty$ por lo que no hay estados vinculados, por lo tanto, la tarea original del OP no tiene solución. Lo más cerca que puede estar es encontrar los llamados estados cuasi-ligados. Físicamente, corresponden a una partícula "atrapada" dentro del pozo de potencial por un tiempo significativo cuando la interferencia destructiva le impide escapar. Así que hay "energías" específicas de valor complejo

E_{n} - i Γ_{n} / 2

$E_n - i\Gamma_n/2$ , donde la parte real corresponde a la energía de este estado casi ligado y

Γ

$\Gamma$ es inversamente proporcional a la vida.

Ruslán

@xaxa pero ¿cómo se definen estos "estados"? Claramente, no pueden ser soluciones de la ecuación de Schrödinger que satisfagan las condiciones de contorno; de lo contrario, serían estados propios por definición. Pero entonces, ¿qué ecuaciones resuelven?

xaxa

@Ruslan se definen a través de una condición asintótica "similar a la radiación": en el lado ilimitado del potencial solo debería haber una onda saliente. Por ejemplo, si el potencial

U (x) \to - \infty

$U(x) \to -\infty$ como

x \to - \infty

$x\to -\infty$ entonces la condición es

ψ (x) \sim \exp (- i k x)

$\psi(x) \sim \exp(-ikx)$ (sin el

\exp (i k x)

$\exp(ikx)$ ¡parte!).

Ruslán

@xaxa pero su condición no puede ser una solución asintótica de la ecuación de Schrödinger: el número de onda debe crecer ilimitadamente a medida que la función se extiende a

x \to - \infty

$x\to-\infty$ debido a la ilimitación del potencial (cf función de Airy).

xaxa

@Ruslan tienes razón, debería haber sido más observador ... De hecho, estoy confundido acerca de cómo hacer que esto funcione en un potencial infinito como este, ya que no admite soluciones similares a "partículas libres". Mi conjetura es asumir que las funciones de Airy juegan el papel de partículas libres en este caso, por lo que la condición asintótica en

x \to - \infty

$x\to -\infty$ debiera ser

ψ (x) \sim \exp (- i q x^{3 / 2}) / x^{1 / 4}

$\psi(x) \sim \exp(-iqx^{3/2})/x^{1/4}$ . Pero esto quizás no sea correcto y necesite un estudio más detallado, ya que la cola decreciente y eterna del potencial puede afectar el resultado de manera no obvia.

garyp

El OP podría agregar otra simplificación/aproximación limitando su punto cuántico modelo con paredes infinitas fuera de su región de interés.

hare Krishna · Answer 3

ambos extremos de la caja ψ se comporta diferente a lo que se ve en problemas triviales, esto es cierto porque el potencial en un extremo de la caja no es lo mismo que el potencial en el otro extremo, porque hay campos eléctricos constantes de -infinito a +infinito , y los campos eléctricos fluyen de mayor a menor potencial, por lo que está bien.

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