¿Me estoy perdiendo un truco para resolver un problema de pozo de potencial 3D?

Estaba jugando con un potencial 3-D V tal que V ( r ) = 0 para r < a , y V ( r ) = V 0 > 0 de lo contrario. Usando la ecuación de Schrödinger, mostré que:

− ℏ 2 metro 1 r 2 d d r ( r 2 d d r ) ψ = mi ψ

Luego usé la sustitución ψ ( r ) = F ( r ) / r y k = 2 metro mi / ℏ Llegar:

(I) 1 r d 2 F ( r ) d r 2 = − k 2 r F ( r )

que describe la función de onda ψ ( r ) = F ( r ) / r dentro de la esfera. Por lo tanto, la ecuación diferencial tiene el dominio 0 ≤ r < a , y no puedo multiplicar ambos lados por r . Esto es desafortunado, porque hay una ecuación similar para el exterior de la esfera:

1 r d 2 F ( r ) d r 2 = k ′ 2 r F ( r )
Como esto está fuera de la esfera, puedo multiplicar ambos lados por r para obtener una ecuación diferencial familiar que se puede resolver fácilmente:
d 2 F ( r ) d r 2 = k ′ 2 F ( r )

Si hago lo mismo con ( I ) , obtengo la ecuación para el movimiento armónico simple, pero sustituyendo la solución de nuevo en ( I ) como un control de cordura da una división por cero al evaluar para r = 0 . Después de eso, probé una serie de sustituciones para hacer ( I ) tener una forma más reconocible - en vano. Entonces tuve la idea de multiplicar mi solución de prueba por alguna otra función de r de modo que al sustituir en ( I ) , la evaluación de r = 0 no da un infinito... pero no sé muy bien cómo hacer eso...

Para resumir... mi pregunta es: ¿qué truco necesito para obtener una solución significativa a ( I ) ?

Respuestas (1)

I) La sustitución F = r ψ es la sustitución estándar para hacer que un problema 3D radial se asemeje a un problema 1D, véase, por ejemplo, Ref. 1.

II) Desde la perspectiva de la normalización de la función de onda ψ ( r ) , a 1 / r singularidad de ψ ( r ) en r = 0 está bien porque | ψ ( r ) | 2 es suprimida por un factor jacobiano r 2 procedente de la medida en coordenadas esféricas 3D.

III) Sin embargo, para mantener la energía cinética k = ℏ 2 2 metro ∫ d 3 X   | ∇ ψ | 2 finito, un 1 / r singularidad de ψ ( r ) en r = 0 es inaceptable, es decir, debemos descartar la solución del coseno y mantener solo la solución del seno. Esto corresponde a imponer que la función de onda ψ ( r ) debe estar acotado.

Referencias:

  1. D. Griffiths, Introducción a QM, Sección 4.1.3.
Obtengo (I) y (II), pero personalmente no entiendo el punto (III). 1. ¿Por qué? k presenta esa expresión integral? 2. ¿Por qué nos preocupamos por mantener finita la energía en un punto infinitesimalmente pequeño? 3. Usamos el delta de Dirac para definir potenciales todo el tiempo.
Hola Noumeno. Gracias por la respuesta. 1. Aquí estamos interesados ​​en la energía cinética integrada. k integrado en 3 espacios, no en una densidad de energía cinética local per se. 2. Si la energía cinética k es infinita, también lo es la energía total mi . Solo estamos interesados ​​en estados con energía total finita. mi , ya que de lo contrario no podemos producirlos utilizando una fuente de energía finita en ningún experimento realista. 3. Aunque el potencial delta explote localmente en un punto, la energía potencial integrada debería ser finita.
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