Solución divergente en la ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo

----editado, como se sugiere en los comentarios----

La función ψ(t,x) no es integrable al cuadrado con respecto al tiempo. Entonces, la transformada de Fourier puede tener significado solo en el sentido de distribución. Está tratando una distribución (con respecto a ω) como una función y luego está resolviendo una EDO en x. En general, esto no se puede hacer, ya que las distribuciones no se comportan como funciones (por ejemplo, no se puede definir el producto de las distribuciones).

Para encontrar la solución se procede de manera muy estándar de la siguiente manera. Considere el operador$-\Delta$: es autoadjunto en un dominio denso de$L^2(\mathbb{R}^d)$(suponiendo que estés en$d$dimensiones), por lo que se le puede asociar un grupo unitario de un parámetro$\exp(it\Delta)$(Asumo aquí$m$y$\hbar$ser un medio y uno respectivamente, por simplicidad). Este grupo unitario de parámetros está definido para todas las funciones de$L^2$, tan dado$\psi(t_0,x)=\psi_0(x)\in L^2(\mathbb{R}^d)$, la solución de su problema de Cauchy es

$$\psi(t,x)=e^{i(t-t_0)\Delta}\psi_0(x)\; .$$ Si toma la transformada espacial de Fourier (en $x$), que es otra transformación unitaria en $L^2$, obtienes la fórmula quizás más explícita $$\hat{\psi}(t,k)=e^{-i(t-t_0)k^2}\hat{\psi}_0(k)$$ dónde $\hat{\psi}$es la transformada de Fourier de $\psi$.