Resolviendo la ecuación de Schrödinger para una partícula libre con transformaciones de Fourier

Entonces la ecuación diferencial queda de la siguiente manera:

i ℏ ∂ ψ ∂ t = − ℏ 2 2 metro Δ ψ

dónde ℏ , metro > 0 , ψ ( t , X ) ∈ C , t > 0 , X ∈ R 3 y

ψ ( 0 , X ) = Exp ⁡ ( − | X | 2 ) .

Creo que esto se puede resolver elegantemente usando una transformada espacial de Fourier. Yo sé eso:

∂ ψ ∂ t ^ = ∂ ψ ^ ∂ t ,

pero como calculo

Δ ψ ^

y luego usarlo para resolver el PDE?

Respuestas (1)

No debe hacer un Fourier en la coordenada de tiempo solo en las coordenadas de posición (es decir, xyz). Y sabes por simples cálculos que Δ ψ ^ es solo − k 2 ψ ( t , k → ) dónde k → es (x, y, z) después de la transformada de Fourier. Y al sustituir esto en la ecuación obtienes una oda simple para ψ ^ ( t , k → ) porque ∂ ψ ∂ t ^ = ∂ ψ ^ ∂ t , cuando te transformas en las coordenadas de posición como dijiste.

Gracias. ¿Podría aclarar cómo calcular Δ ψ ^ ?
Simplemente conecte la transformada de Fourier df/dx y obtenga -ik F ^ y las otras coordenadas son las mismas. Para obtener el laplciano, simplemente aplique la derivada dos veces para obtener ( − i k ) 2 = k 2 .
Además, después de conectar df/dx, haga la integración por partes para obtener lo que dije
Resolviendo la ecuación de Schrödinger para una partícula libre con transformaciones de Fourier
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