¿Por qué se requiere que los estados propios de energía estén acotados?

No olvides que estamos trabajando en un espacio Hilbert -$L^2(\mathbb R)$, en este caso. los operadores$\hat A$sólo puede actuar sobre elementos en$L^2(\mathbb R)$, pero sus dominios suelen estar más restringidos a aquellos$\psi \in L^2(\mathbb R)$tal que$\Vert A \psi \Vert^2 < \infty$y, para espacios de Hilbert más generales, aún más por las condiciones de contorno.

Interludio Matemático

Como se menciona en las notas, este es un requisito bastante restrictivo. En muchos casos, resulta extremadamente útil extender un poco esta noción considerando distribuciones en$L^2(\mathbb R)$. una distribución$^\dagger$es un objeto que come un elemento de$L^2(\mathbb R)$y escupe un número complejo, y normalmente se puede escribir como

para alguna funcion$\phi$, que podríamos llamar el núcleo de la distribución (pero por lo general somos descuidados y simplemente lo llamamos "la distribución$\phi$"). En esta expresión,$\psi$debe pertenecer a$L^2(\mathbb R)$, pero las restricciones de$\phi$son más flojos. Por supuesto,$\phi$ puede ser un elemento de$L^2(\mathbb R)$, en cuyo caso esta expresión se reduce al producto interior$\langle \phi,\psi\rangle$, pero no siempre es así; En particular,$\phi$generalmente no necesita ser normalizable. En particular, las funciones delta$^{\dagger\dagger}$ $\delta(x-x_0)$y ondas planas$e^{ikx}$son núcleos de distribución comunes.

Habiendo hecho esto, podemos definir la acción de un operador autoadjunto$\hat A$en$\phi$como sigue:

Los operadores como los observables de posición y momento no tienen ningún vector propio en$L^2(\mathbb R)$, pero si los extendemos de esta manera, resulta que tienen " vectores propios generalizados" que son distribuciones (las funciones delta y las ondas planas, respectivamente).

Esto es, por supuesto, demasiada matemática para un primer paso a través de la mecánica cuántica. En la práctica , esto se puede resumir en lo siguiente:

1. Los observables con espectros continuos no tienen vectores propios en$L^2(\mathbb R)$(es decir, no tienen vectores propios normalizables ), pero si les permitimos actuar sobre distribuciones (que no tienen el requisito de normalizabilidad), entonces tienen vectores propios generalizados .
2. Para que este procedimiento esté bien definido, necesitamos ciertos requisitos de regularidad en las distribuciones. No necesitan ser normalizables, pero debemos tener eso$D_{\hat A\phi}[\psi] = D_\phi[\hat A\psi] = \lambda D_\phi[\psi]$es finito para todos$\psi$en el dominio de$\hat A$.
3. Resulta que las elecciones adecuadas para los requisitos de regularidad del hamiltoniano$\hat H = -\frac{d^2}{dx^2} + V(x)$son la acotación de la distribución y su primera derivada, según las notas.

$^\dagger$En aras de la integridad, generalmente consideramos distribuciones moderadas , que solo actúan en un subconjunto de muy buen comportamiento.$L^2(\mathbb R)$. Vea el penúltimo párrafo en la introducción de este artículo de wikipedia . Sin embargo, siento que este detalle está demasiado alejado de la pregunta original para ser necesario.

$^{\dagger\dagger}$Como señaló TBissinger, la función delta no es en realidad una función. En cambio, la distribución delta se define a través de

Es decir, es la distribución la que simplemente evalúa la función en un punto. Para que se parezca a otras distribuciones que tienen núcleos, definimos la "función delta" y escribimos

y simplemente tenga en cuenta que$\delta(x-x_0)$es un símbolo puramente formal que no debe considerarse como una función en el sentido habitual.

Los estados propios son patrones de ondas estacionarias resonantes. Las ondas estacionarias ocurren con límites.