Solución a la ecuación de Klein-Gordon

Question

Solución a la ecuación de Klein-Gordon

Física
Transformada de Fourier
segunda cuantización
teoría cuántica de campos
ecuación de klein-gordon
teoría clásica del campo

Difícil

La mayoría de los libros de texto resuelven la ecuación de Klein-Gordon con el ansatz

φ (X, t) = \int \frac{d^{3} k}{F (k)} (a (k) {mi}^{i k X} + b (k) {mi}^{- i k X})

$\varphi(\mathbf{x},t) = \int \frac{\mathrm{d}^3\mathbf{k}}{f(k)}\left(a(\mathbf{k})\, \mathrm{e}^{i k x} + b(\mathbf{k})\,\mathrm{e}^{-i k x} \right)$

para que luego puedan elegir $f$ para que la medida de integración sea invariante de Lorentz y cuantifique canónicamente $a$ y $b$ .

Pero, ¿por qué no consideramos la solución de aspecto más natural?

φ (X) = \int d^{4} k (a (k) {mi}^{i k X} + b (k) {mi}^{- i k X}) ?

$\varphi(x) = \int \mathrm{d}^4k \, \left(a(k) \, \mathrm{e}^{i k x} + b(k) \, \mathrm{e}^{-i k x}\right)?$

¿No es este un conjunto mayor de soluciones que las expresadas arriba? Supongo que esta forma hace que sea más fácil escribir el hamiltoniano (que no es invariante de Lorentz, como el integrando sin medida de la ecuación superior), pero parece realmente extraño escribir la solución de una ecuación de movimiento invariante de Lorentz como una suma sobre soluciones no invariantes de Lorentz y luego rescatarla con la medida de integración.

Difícil

physics.stackexchange.com/a/164186/113085 proporciona una respuesta parcial; "No es un conjunto mayor de soluciones; simplemente realizan el

k^{0}

$k^0$ integral", pero no explica completamente por qué uno quiere hacer esto.

Valter Moretti

¿Dónde entra la masa del campo en el juego?

Cosmas Zachos

Al mismo tiempo, son sus arbitrarias

k_{0}

$k_0$ no tiene nada que ver con el

\vec{k}

$\vec k$ ¿s?

AccidentalFourierTransformar

Una pregunta sobre el uso de la descomposición de Fourier para resolver la ecuación de Klein Gordon .

Difícil

@CosmasZachos ¿Por qué imponemos la condición de caparazón masivo en este paso y no en los pasos posteriores? Si lleva a cabo los cálculos estándar de una manera manifiestamente invariante de Lorentz, encuentro que obtiene un montón de

k^{2}

$k^2$ usted puede establecer igual a

- m^{2}

$-m^2$ en su tiempo libre. En general, empleamos la estrategia de mantener la invariancia de Lorentz manifiesta en la medida de lo posible, por lo que no veo por qué aquí tratamos de eliminarla de inmediato al imponer la condición de caparazón masivo.

Cosmas Zachos

Puede imponerlo en cualquier paso que desee y en cualquier forma que desee. Es solo que una de las 4 variables es redundante. ¿Cuál propone eliminar, preservando la invariancia rotacional manifiesta?

Respuestas (2)

Solución a la ecuación de Klein-Gordon

physics.stackexchange.com/a/164186/113085 proporciona una respuesta parcial; "No es un conjunto mayor de soluciones; simplemente realizan el $k^0$ integral", pero no explica completamente por qué uno quiere hacer esto.
Al mismo tiempo, son sus arbitrarias $k_0$ no tiene nada que ver con el $\vec k$ ¿s?
Una pregunta sobre el uso de la descomposición de Fourier para resolver la ecuación de Klein Gordon .
@CosmasZachos ¿Por qué imponemos la condición de caparazón masivo en este paso y no en los pasos posteriores? Si lleva a cabo los cálculos estándar de una manera manifiestamente invariante de Lorentz, encuentro que obtiene un montón de $k^2$ usted puede establecer igual a $-m^2$ en su tiempo libre. En general, empleamos la estrategia de mantener la invariancia de Lorentz manifiesta en la medida de lo posible, por lo que no veo por qué aquí tratamos de eliminarla de inmediato al imponer la condición de caparazón masivo.
Puede imponerlo en cualquier paso que desee y en cualquier forma que desee. Es solo que una de las 4 variables es redundante. ¿Cuál propone eliminar, preservando la invariancia rotacional manifiesta?

j murray · Answer 1

¿Por qué imponemos la condición de caparazón de masa en este paso y no en los pasos posteriores? Si lleva a cabo los cálculos estándar de una manera manifiestamente invariante de Lorentz, encuentro que obtiene un montón de $k^2$ usted puede establecer igual a $-m^2$ en su tiempo libre.

No estoy seguro de lo que quieres decir. Tenga en cuenta que

(\partial_{t}^{2} - \nabla^{2} + {metro}^{2}) φ (X) = 0 ⟹ \int d^{4} k (- k_{0}^{2} + | k |^{2} + {metro}^{2}) ϕ (k) {mi}^{i k X} = 0

$(\partial_t^2 - \nabla^2 + m^2) \varphi(x) = 0 \implies \int d^4k \left(-k_0^2+|\mathbf{k}|^2 + m^2\right)\phi(k) e^{ikx} = 0$ de lo que se deduce que

ϕ (k) \propto δ (- k_{0}^{2} + | k |^{2} + m^{2})

$\phi(k) \propto \delta(-k_0^2 + |\mathbf{k}|^2 + m^2)$ . La condición en el caparazón es impuesta por el requisito de que

φ (x)

$\varphi(x)$ satisfacer la ecuación de KG.

Pero, ¿por qué no consideramos, en cambio, la solución de aspecto más natural [...]

Eres libre de hacer eso. Sin embargo, si está siguiendo el procedimiento de cuantificación canónica (a diferencia del procedimiento de integral de ruta), entonces solo está cuantificando operadores de campo que ya satisfacen la ecuación KG, lo que significa que hay una función delta que lo mantiene en el shell que se oculta en esa integral 4D. Realizando el $k_0$ la integración lo hace explícito.

Además, si está trabajando en la imagen de Schrödinger, entonces necesita operadores de campo independientes del tiempo que tomarán la forma $\phi(\mathbf{x})=\int d^3 k [\ldots]$ , que no tiene una medida obviamente invariante de Lorentz. Como dices, puedes factorizar algunos $f(\mathbf{k})$ para hacer explícita la invariancia, pero no es obvio exactamente qué $f(\mathbf{k})$ debiera ser. Partiendo de la integral manifiestamente invariante y realizando la $k_0$ part te lleva a la expresión correcta para $f(\mathbf{k})$ , aunque podría llegar allí por otras consideraciones.

Gracias; mi error es que me olvidé de escribir explícitamente la función delta y solo impuse la condición de capa de masa al final de cada cálculo. Esto funciona, y me pregunto por qué no se hace en los libros de texto, ya que en ciertos ejemplos, como el cálculo de los diagramas geodésicos de Witten, las integrales solo se pueden calcular fácilmente si no se usa el delta hasta el final.

parker · Answer 2

parker

Su solución propuesta no resuelve la ecuación de Klein-Gordon. Sólo los modos de Fourier en los que $k$ es on-shell resolverlo.

Difícil

Gracias; Estaba olvidando la función delta y simplemente imponiendo la condición de capa de masa al final de cada cálculo. Esto funciona y me pregunto por qué a los libros de texto les gusta imponerlo tan pronto como sea posible en lugar de dejarlo ir por el camino, ya que en los cálculos donde tiene múltiples integrales, a menudo es más fácil emplear la función delta al final (por ejemplo, diagramas geodésicos de Witten)

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