La separación implica la suma

Cuando realizamos una separación de variables de esta forma,

$$\rho(x, t)= X(x) T(t), \\ X\dot T = DX''T,\\ \dot T/T = D X''/X = -Dk^2 \text{ for some constant } k\\ \rho(x,t) = A \cos(kx)~e^{-Dk^2 t} + B \sin(kx)~e^{-Dk^2 t} \text{ for arbitrary } A,B,$$ es importante recordar que partimos de un punto de partida muy estrecho con$\rho$y que esta no es una solución totalmente general. La solución completamente general requiere, como ha dicho, tomar una suma de estos. En este caso puedes usar la linealidad de la ecuación diferencial$\dot \rho = D \rho''$argumentar que si puede determinar que $$\rho(x,0) = \int_{-\infty}^{\infty}dk~\cos(kx)~f(k)$$ para algunos$f(k)$entonces eso es una suma de coeficientes por las funciones que obtuviste arriba, y la solución es entonces$\int dk~e^{-Dk^2t}~\cos(kx)~f(k).$

En otras palabras: la condición de contorno es la función completa$\rho(x, 0)$. Es un espacio 2D que consta de la mitad de$\mathbb R^2$y su condición de contorno fija la función en ese límite$t=0.$

Transformaciones de Fourier al rescate

Cuando las condiciones de contorno no están limitadas por un rango finito o son periódicas, la elección de coseno y seno anterior resulta algo incómoda y nos resultará más fácil complicarla:

$$\rho(x, t) = \alpha e^{ikx}~e^{-D k^2 t} + \beta e^{-ikx} e^{-D k^2 t}.$$ Entonces podemos ver que los dos casos realmente se superponen y una vez que tomamos una suma sobre todos$k$no los necesitamos a ambos porque obtendremos tanto positivo como negativo$k$, la solución separada se puede simplificar a solo$\alpha e^{ikx} e^{-Dk^2 t}.$Lo cual es bueno porque la integral equivalente allí se conoce como la transformada inversa de Fourier, $$\rho(x, 0) = \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty} e^{ikx}~dk~\int_{-\infty}^{\infty} e^{-ikx'}dx'~\rho(x', 0),$$ y por lo tanto tenemos que por esta prescripción $$\rho(x,t)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty} e^{ikx} dk~e^{-Dk^2t}\int_{-\infty}^{\infty} e^{-ikx'} dx' \rho(x', 0).$$

Pero la condición de frontera es una$\delta$-función

Ha tenido algunos problemas para especificar$\rho(x', 0)$ser una densidad de probabilidad que expresa la certeza de que una partícula está en el origen. Esto se debe a que para hacerlo correctamente necesitamos una función que es imposible (¡pero sorprendentemente se comporta bien!) Llamada Dirac$\delta$-función. es una 'funcion'$\delta(x)$tal que

$$\int_a^b dx~\delta(x) f(x) = \begin{cases}f(0)&\text{if } a < 0 < b,\\ -f(0)&\text{if } a > 0 > b,\\ 0&\text{otherwise}. \end{cases}$$ Por lo general, se piensa en él como un pico infinitamente delgado e infinitamente grande normalizado de modo que el área bajo la curva es$1$, pero otras construcciones también involucran funciones que oscilan salvajemente en$x\ne 0$para que no puedan crear integrales distintas de cero cuando se multiplican por una función suave estándar. Parte de esta idea significa que existe una gran ambigüedad acerca de lo que sucede si$a=0$o$b=0$en la integral anterior, también. Pero se puede realizar como el límite de funciones suaves, por ejemplo, una gaussiana con área finita 1 empujada a ser más y más delgada, por lo que uno puede imaginar que también es una función suave simplemente "retrocediendo" de ese límite por un bit más pequeño .

De todos modos, en densidades de probabilidad, el área bajo una curva de densidad de probabilidad es la probabilidad real, y el Dirac$\delta$-función nos permite definir una densidad de probabilidad para "Sé con probabilidad$p$que está en el punto$x_0$como la contribución de la densidad$p~\delta(x - x_0).$En este caso, por lo tanto, desea considerar$\rho(x, 0) = \delta(x),$y usando la definición encontramos inmediatamente que la transformada de Fourier de$\rho(x, 0)$fue sólo$e^{-ik0} = 1$,

$$\rho(x,t)=\int_{-\infty}^{\infty}\frac{dk}{2\pi}~ e^{ikx-Dk^2t}.$$

Completa el cuadrado, completa la derivación

Ahora solo queremos completar el cuadrado, porque conocemos la integral gaussiana que$\int_{-\infty}^\infty du~e^{-u^2} = \sqrt{\pi}.$

$$D~t~k^2 - ix~k =D~t~\left(k - \frac{ix}{2Dt}\right)^2 + \frac{x^2}{4Dt}.$$ Realizar la integral gaussiana solo da una constante y la solución luego sale como $$\rho(x, t) = \frac{e^{-x^2/(4Dt)}}{\sqrt{4\pi Dt}},$$ una distribución normal con desviación estándar$\sqrt{2Dt}.$

Ahora, ya que te acabo de mostrar$\delta$-funciones, me gustaría extenderlo un paso más, para decirle que en realidad la linealidad le permite usar este resultado, en lugar del resultado de la separación de variables, para ver la evolución de un sistema arbitrario y aliviar sus preocupaciones sobre las probabilidades negativas .

Esta solución que se nos ocurrió es especial precisamente porque su condición de frontera es una$\delta$-función. Llamamos a este resultado una "solución de la función de Green" de la ecuación por esa razón. Cualquier otra función$\rho_0(x)$podría expresarse como

$$\rho_0(x) = \int_{-\infty}^\infty dx'~\rho_0(x')~\delta(x - x'),$$ según la definición de$\delta$arriba. Como consecuencia, bajo la ecuación del calor, esa función evoluciona con el tiempo.$t$a $$\rho(x, t) = \int_{-\infty}^{\infty} dx'~\rho_0(x')~\frac{e^{-(x-x')^2/(4Dt)}}{\sqrt{4\pi D t}},$$ de donde es más fácil ver que si$\rho_0(x)$es no negativo y se integra a$1$entonces$\rho(x, t)$para cualquier fijo$t$también será no negativo e integrará a$1$.