¿La ecuación de continuidad es válida para una corriente de difusión?

Por un lado, tenemos la ecuación de difusión:

$$\begin{align} \frac{\partial\rho}{\partial t}&=D \nabla^2 \rho \end{align}$$ y por otro lado, tenemos la primera ley de Fick: $$\begin{align} \vec J = - D \nabla \rho \, . \end{align}$$ si aplicamos$\nabla$a la ley de Fick: $$\begin{align} \nabla \vec J = - D \nabla^2 \rho \end{align}$$ e insertamos esto en la ecuación de difusión, encontramos $$\begin{align} \frac{\partial\rho}{\partial t}&=\nabla \vec J \, . \end{align}$$ Si ahora suponemos que la corriente$\vec J$se puede describir en términos de un campo de velocidad$\vec u$: $$\vec J \equiv \rho \vec u,$$ esto produce exactamente la ecuación de continuidad: $$\begin{align} \frac{\partial\rho}{\partial t}&=D \nabla (\rho \vec u) \, . \end{align}$$ ¿Hay algún error en los pasos anteriores? El resultado me desconcierta un poco porque la ecuación de continuidad generalmente se asocia con la advección y no con la difusión.