Ecuaciones geodésicas de la métrica FRW (símbolos de Christoffel)

Question

Ecuaciones geodésicas de la métrica FRW (símbolos de Christoffel)

charlie

Estoy trabajando con la métrica FRW estándar,

d s^{2} = d t^{2} - a^{2} [\frac{d r^{2}}{1 - k r^{2}} + r^{2} (d θ^{2} + {pecado}^{2} θ d ϕ^{2})]

$ds^2=dt^2-a^2\left [\frac{dr^2}{1-kr^2}+r^2(d\theta^2+\sin^2\theta d\phi^2)\right ]$

Utilizando la definición de los símbolos de Christoffel,

Γ_{a b}^{C} = \frac{1}{2} {gramo}^{C d} ({gramo}_{a d, C} + {gramo}_{b d, a} - {gramo}_{a b, d})

$\Gamma^c_{ab}=\frac{1}{2}g^{cd}(g_{ad,c}+g_{bd,a}-g_{ab,d})$

Encontré los símbolos de Christoffel distintos de cero para la métrica FRW, usando la notación $(t,r,\theta,\phi)=(0,1,2,3)$ ,

Γ_{11}^{0} = \frac{a \dot{a}}{1 - k r^{2}}, Γ_{22}^{0} = a \dot{a} r^{2}, Γ_{33}^{0} = a \dot{a} r^{2} {pecado}^{2} θ, Γ_{11}^{1} = \frac{k r}{(1 - k r^{2})}

$\Gamma^{0}_{11}=\frac{a\dot{a}}{1-kr^2} \ \ ,\ \ \Gamma^{0}_{22}=a\dot{a}r^2 \ \ ,\ \ \Gamma^{0}_{33}=a\dot{a}r^2 \sin^2\theta \ \ , \ \ \Gamma^{1}_{11}=\frac{kr}{(1-kr^2)}$

Γ_{01}^{1} = Γ_{02}^{1} = Γ_{03}^{1} = \frac{\dot{a}}{a}, Γ_{22}^{1} = - r (1 - k r^{2}), Γ_{33}^{1} = - r (1 - k r^{2}) {pecado}^{2} θ

$\Gamma^{1}_{01}=\Gamma^{1}_{02}=\Gamma^{1}_{03}=\frac{\dot{a}}{a} \ \ ,\ \ \Gamma^{1}_{22}=-r(1-kr^2) \ \ ,\ \ \Gamma^{1}_{33}=-r(1-kr^2) \sin^2\theta$

Γ_{12}^{2} = Γ_{13}^{3} = \frac{1}{r}, Γ_{33}^{2} = - pecado θ porque θ, Γ_{23}^{3} = \frac{porque θ}{pecado θ}

$\Gamma^{2}_{12}=\Gamma^{3}_{13}=\frac{1}{r} \ \ ,\ \ \Gamma^{2}_{33}=-\sin\theta \cos\theta \ \ ,\ \ \Gamma^{3}_{23}=\frac{\cos\theta}{\sin\theta}$

Ahora estoy tratando de derivar las ecuaciones geodésicas para esta métrica, que se dan como,

\frac{d^{2} X^{m}}{d s^{2}} + Γ_{v λ}^{m} \frac{d X^{v}}{d s} \frac{d X^{λ}}{d s} = 0

$\frac{d^2x^\mu}{ds^2}+\Gamma^{\mu}_{\nu\lambda}\frac{dx^\nu}{ds}\frac{dx^\lambda}{ds}=0$

por ejemplo, para $\mu=0$ , Lo entiendo,

\frac{d^{2} t}{d s^{2}} + \frac{a \dot{a}}{1 - k r^{2}} {(\frac{d r}{d s})}^{2} + a \dot{a} r^{2} {(\frac{d θ}{d s})}^{2} + a \dot{a} r^{2} {pecado}^{2} θ {(\frac{d ϕ}{d s})}^{2} = 0

$\frac{d^2t}{ds^2}+\frac{a\dot{a}}{1-kr^2}\left (\frac{dr}{ds}\right )^2+a\dot{a}r^2\left (\frac{d\theta}{ds}\right )^2+a\dot{a}r^2 \sin^2\theta\left (\frac{d\phi}{ds}\right )^2=0$

Sin embargo, cuando revisé con este documento en la sección de geodésicas ( http://popia.ft.uam.es/Cosmology/files/02FriedmannModels.pdf ), obtienen,

\frac{| tu |}{C} | \dot{tu} | + \frac{\dot{a}}{a} | tu |^{2} = 0

$\frac{|u|}{c}|\dot{u}|+\frac{\dot{a}}{a}|u|^2=0$

dónde $\frac{du^0}{ds}=\frac{|u|}{c}|\dot{u}|$ y $u^\mu=\frac{dx^\mu}{dt}$ .

No estoy seguro de lo que estoy haciendo mal o si es solo una cuestión de convención. También revisé esta pregunta ( Geodésicas para la métrica FRW usando el principio variacional ) pero la métrica FRW es ligeramente diferente, por lo que no ayudó.

Juan Dumancic

Te perdiste un símbolo:

Γ_{11}^{1} = \frac{k r}{1 - k r^{2}}

$\Gamma^1_{11}=\frac{kr}{1-kr^2}$ . Además, ¿no se definen los símbolos como

Γ_{μ ν}^{σ} = \frac{1}{2} g^{σ ρ} (\partial_{μ} g_{ν ρ} + \partial_{ν} g_{ρ μ} - \partial_{ρ} g_{μ ν})

$\Gamma^\sigma_{\mu\nu}=\frac{1}{2}g^{\sigma\rho}(\partial_\mu g_{\nu\rho}+\partial_\nu g_{\rho\mu}-\partial_\rho g_{\mu\nu})$ ?

charlie

De hecho, lo siento, olvidé incluir eso al escribir. Sin embargo, la definición de los símbolos es equivalente cuando contemplas sus simetrías, ya que la que pongo es la que usa mi profesor. En cualquier caso, los símbolos de Christoffel son correctos como comprobé con el siguiente documento (p. 22): icc.ub.edu/~liciaverde/Cosmology.pdf

Respuestas (1)

Ecuaciones geodésicas de la métrica FRW (símbolos de Christoffel)

Te perdiste un símbolo: $\Gamma^1_{11}=\frac{kr}{1-kr^2}$ . Además, ¿no se definen los símbolos como $\Gamma^\sigma_{\mu\nu}=\frac{1}{2}g^{\sigma\rho}(\partial_\mu g_{\nu\rho}+\partial_\nu g_{\rho\mu}-\partial_\rho g_{\mu\nu})$ ?
De hecho, lo siento, olvidé incluir eso al escribir. Sin embargo, la definición de los símbolos es equivalente cuando contemplas sus simetrías, ya que la que pongo es la que usa mi profesor. En cualquier caso, los símbolos de Christoffel son correctos como comprobé con el siguiente documento (p. 22): icc.ub.edu/~liciaverde/Cosmology.pdf

Juan Dumancic · Answer 1

Bueno, parece que los dos son iguales. Primero, asumo que no estamos trabajando en unidades naturales, debido a su ecuación final. Por lo tanto, la métrica cambia a

d s^{2} = (C d t)^{2} - a^{2} [\frac{d r^{2}}{1 - k r^{2}} + r^{2} (d θ^{2} + {pecado}^{2} θ d ϕ^{2})]

$ds^2=(cdt)^2-a^2\left [\frac{dr^2}{1-kr^2}+r^2(d\theta^2+\sin^2\theta d\phi^2)\right ]$ Por lo tanto, su ecuación cambia a

C \frac{d^{2} t}{d s^{2}} + \frac{a \dot{a}}{1 - k r^{2}} {(\frac{d r}{d s})}^{2} + a \dot{a} r^{2} {(\frac{d θ}{d s})}^{2} + a \dot{a} r^{2} {pecado}^{2} θ {(\frac{d ϕ}{d s})}^{2}

$c\frac{d^2t}{ds^2}+\frac{a\dot{a}}{1-kr^2}\left(\frac{dr}{ds}\right)^2+a\dot{a}r^2\left(\frac{d\theta}{ds}\right)^2+a\dot{a}r^2\sin^2\theta\left(\frac{d\phi}{ds}\right)^2$ En segundo lugar, nótese que, según el recurso, la velocidad en el término

\frac{\dot{a}}{a} | u |^{2}

$\frac{\dot{a}}{a}|u|^2$ es la velocidad de tres. Entonces, voy a denotar las cuatro velocidades con

u^{μ}

$u^\mu$ y las tres velocidades con

u^{i}

$u^i$ . Entonces, la ecuación dada se convierte en

\frac{d {tu}^{0}}{d s} + \frac{\dot{a}}{a} {tu}^{i} {tu}_{i} = 0

$\frac{du^0}{ds}+\frac{\dot{a}}{a}u^iu_i=0$ donde me he tomado la libertad de cambiar el primer término, ya que la derivación se da dentro de dicho recurso, y ya lo anotaste. Multiplicamos por uno negativo, porque el recurso usa una firma métrica diferente:

- \frac{d {tu}^{0}}{d s} - \frac{\dot{a}}{a} {tu}^{i} {tu}_{i} = 0

$-\frac{du^0}{ds}-\frac{\dot{a}}{a}u^iu_i=0$ Tu primer término es igual a

- \frac{d {tu}^{0}}{d s} = - \frac{C}{C} \frac{d {tu}^{0}}{d s} = C \frac{d}{d s} (- \frac{1}{C} \frac{d t}{d τ}) = C \frac{d}{d s} (\frac{d t}{d s}) = C \frac{d^{2} t}{d s^{2}}

$-\frac{du^0}{ds}=-\frac{c}{c}\frac{du^0}{ds}=c\frac{d}{ds}\left(-\frac{1}{c}\frac{dt}{d\tau}\right)=c\frac{d}{ds}\left(\frac{dt}{ds}\right)=c\frac{d^2t}{ds^2}$ Para el segundo tenemos

\begin{aligned} - \frac{\dot{a}}{a} ({tu}^{i} {tu}_{i}) & = \frac{\dot{a}}{a} (\frac{a^{2}}{1 - k r^{2}} {(\frac{d r}{d s})}^{2} + a^{2} r^{2} {(\frac{d θ}{d s})}^{2} + a^{2} r^{2} {pecado}^{2} θ {(\frac{d ϕ}{d s})}^{2}) \\ = \frac{a \dot{a}}{1 - k r^{2}} {(\frac{d r}{d s})}^{2} + a \dot{a} r^{2} {(\frac{d θ}{d s})}^{2} + a \dot{a} r^{2} {pecado}^{2} θ {(\frac{d ϕ}{d s})}^{2} \end{aligned}

$\begin{align}-\frac{\dot{a}}{a}(u^i u_i)&=\frac{\dot{a}}{a}\left(\frac{a^2}{1-kr^2}\left(\frac{dr}{ds}\right)^2+a^2r^2\left(\frac{d\theta}{ds}\right)^2+a^2r^2\sin^2\theta\left(\frac{d\phi}{ds}\right)^2\right) \\ &=\frac{a\dot{a}}{1-kr^2}\left(\frac{dr}{ds}\right)^2+a\dot{a}r^2\left(\frac{d\theta}{ds}\right)^2+a\dot{a}r^2\sin^2\theta\left(\frac{d\phi}{ds}\right)^2 \end{align}$ Por lo tanto,

\frac{d {tu}^{0}}{d s} + \frac{\dot{a}}{a} {tu}^{i} {tu}_{i} = 0 = C \frac{d^{2} t}{d s^{2}} + \frac{a \dot{a}}{1 - k r^{2}} {(\frac{d r}{d s})}^{2} + a \dot{a} r^{2} {(\frac{d θ}{d s})}^{2} + a \dot{a} r^{2} {pecado}^{2} θ {(\frac{d ϕ}{d s})}^{2} = 0

$\frac{du^0}{ds}+\frac{\dot{a}}{a}u^iu_i=0=c\frac{d^2t}{ds^2}+\frac{a\dot{a}}{1-kr^2}\left(\frac{dr}{ds}\right)^2+a\dot{a}r^2\left(\frac{d\theta}{ds}\right)^2+a\dot{a}r^2\sin^2\theta\left(\frac{d\phi}{ds}\right)^2=0$ y son iguales

Ecuaciones geodésicas de la métrica FRW (símbolos de Christoffel)

charlie

Juan Dumancic

charlie

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Juan Dumancic

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