Sobre la resolución de la pregunta del examen mínimo teórico de Lev Landau [cerrado]

Estoy tratando de responder a la siguiente pregunta que se hizo en el examen mínimo teórico compuesto por Lev Landau.

El electrón entra en un tubo recto de sección transversal circular (radio$r$). El tubo está doblado en un radio$R\gg r$por el ángulo$\alpha$y luego se vuelve a alinear. Encuentre la probabilidad de que el electrón salte.

Aquí está mi intento:

Como se menciona en la pregunta, el tubo está doblado y, suponiendo que esta acción tiene lugar después de la entrada del electrón, el tubo oscilaría con una frecuencia específica después de su liberación, esta frecuencia dependería de las propiedades del tubo y su potencial gravitatorio. La depresión del extremo cargado es

$$\xi=\frac{Mg}{YI}\left(\frac{l^3}{3}\right)$$ , por lo tanto, la fuerza de restauración es proporcional a la depresión. La frecuencia de las oscilaciones es por lo tanto, $$f=\frac{1}{2\pi}\left(\frac{3YI}{Ml^3}\right)^{\frac{1}{2}}$$ Dicho esto, ¿cómo puedo construir un potencial que oscile con tal frecuencia? Pregunto esto porque si hay una barrera de potencial oscilante para el electrón, que (el potencial) tiene picos más altos que la energía del electrón y permite el movimiento transversal del electrón solo cuando el potencial alcanza un mínimo; por lo tanto, hace que el electrón se mueva en pequeños pasos. A continuación, he anotado la tensión y las energías potenciales gravitatorias y las he usado en la ecuación de Schrödinger, ya que la función de onda asociada da la probabilidad de encontrar una partícula en una determinada posición.

La energía de deformación potencial de un tubo doblado es:

$$V_{b}=\frac{M\alpha}{2}$$ Desde, $\alpha$se relaciona con el momento como: $\alpha=\frac{ML}{2YI}$, dónde $Y$es el módulo de Young y yo es el momento de inercia( $I=\frac{Mr^2}{2}$), podemos reescribir la ecuación de potencial como: $$\boxed{V_{b}=\frac{RM\alpha}{Yr^2}}$$ Ahora, dado que también hay un potencial gravitatorio asociado con el tubo doblado, se puede escribir de la siguiente manera: $$\boxed{V_{g}=\frac{2GM\sin\left(\frac{\alpha}{2}\right)}{R\alpha}}$$

Ahora introduzco coordenadas toroidales , donde$\tau=\ln\frac{d_{1}}{d_{2}}$(consulte el enlace wiki), aquí desde$d_{1}=d_{2}$,$x=y=0$, y

$$z=\frac{a\sin\alpha}{1-\cos\alpha}=\frac{R^{2}\sin(\alpha)\left(1-\frac{r^{2}}{R^{2}}\right)}{\left(4R^{2}+4\frac{r^{4}}{R^{2}}-8\frac{r^{2}}{R^{2}}-1\right)}$$ Dónde $a=R^{2}-r^{2}$y $\cos\alpha=-\frac{\left(4a^2-2R^{2}\right)}{R^{2}}$

Ahora bien, estos potenciales se pueden incorporar en el tiempo de Schrödinger independiente ya que la función de onda asociada da la probabilidad de encontrar la partícula en una posición determinada:

$$\boxed{\frac{\mathrm d^{2}\psi}{\mathrm dz^{2}}=-~\frac{2m}{\hbar^{2}}\left(E-\frac{RM\alpha}{Yr^2}-\frac{2GM\sin\left(\frac{\alpha}{2}\right)}{R\alpha}\right)\psi(z)}$$

Como se observa en la ecuación anterior, la energía potencial gravitatoria oscila sinusoidalmente, pero ¿cómo voy a construir un potencial con la frecuencia que mencioné anteriormente? ¿Tengo razón al asumir los potenciales anteriores para resolver este problema? En caso afirmativo, ¿cómo procedo? Cualquier ayuda es apreciada.

editar: he procedido a responder con el método anterior, ya que no se menciona nada explícitamente en la pregunta sobre cómo resolverlo. Tengo esta pregunta de aquí . También me gustaría agregar que el método anterior que he usado puede ser uno en el que solo estoy complicando un problema simple, puede que esté equivocado pero no la pregunta, discrepo, ya que creo que tal problema planteado por Landau no sería tiene una solución simple dado que solo 45 estudiantes alguna vez aprobaron el mínimo teórico.