Formulación y probabilidad de una función de onda [cerrado]

Te ayudaré a responder tu segunda pregunta.

Pero primero, hay algunas dificultades con el problema que le han dado. En primer lugar, su pregunta no está completamente especificada: necesita tener el hamiltoniano, por lo que necesita al menos el potencial$V(x)$. La expresión para$E_n$se le da indica un oscilador armónico cuántico o un pozo infinito. En segundo lugar, hay un error tipográfico en su estado cuántico inicial. Las dos desigualdades en la definición deben decir$|x|<a$y$|x|>a$(no$|x|<0$, que no$x\in\mathbb{R}$cumple!).

Así que supondré un pozo infinito ya que esto se relaciona con el método de la serie de Fourier de la respuesta de akhmeteli .

Como en la respuesta de akmetieli, expandes el estado cuántico en estados propios de energía$\mathcal{N}^{-1} \cos\left(\left(n + \frac{1}{2}\right)\frac{\pi}{a}x\right);\,n=0,1,2,\cdots$(cuando$|x|<a$, nada fuera del intervalo) correspondiente a las energías$E_n$(aquí$\mathcal{N}$es la normalización para hacer$\int_{-a}^a|\psi|^2dx=1$.

Tenga en cuenta que esta es una serie discreta . La energía no toma valores continuos, por lo que la magnitud al cuadrado de los pesos de su serie de Fourier (no integral como para la energía que varía continuamente) son las probabilidades, no las densidades de probabilidad, de que el estado cuántico se encontrará en cada energía.

Entonces, cuando hagas tu serie de Fourier, debes verificar que$\sum_n |w_n|^2 = 1$, dónde$w_n$son los pesos de la serie de Fourier.

Ahora la probabilidad$|w_n|^2$no varía con el tiempo. la fase de$w_n$lo hace, por lo que los estados propios de energía interfieren entre sí para dar una función de onda variable en el tiempo, pero las probabilidades de estar en cada estado propio de energía son constantes. Así que ni siquiera necesitas saber el tiempo cuando calculas tu probabilidad.

Esto debería permitirle terminar su pregunta.

Siguiente etapa: dado que se trata del oscilador armónico cuántico, sus estados propios de energía son el siguiente conjunto:

dónde$H_n(x)=(-1)^n e^{x^2}\frac{d^n}{dx^n}\left(e^{-x^2}\right)$es el$n^{th}$Polinomio de Hermite.

Estas funciones propias son ortogonales en el sentido de que:

es decir, el "producto interno" es cero para diferentes funciones propias de energía discreta y 1 para$n=m$, por lo que cada estado propio está "normalizado" o se dice que tiene una unidad de "longitud" en el espacio de Hilbert dividido por los estados propios de energía (no se preocupe si no entiende todo esto; estos son los tipos de declaraciones que se convertirán más y más acostumbrado a ti si te mantienes en tu auto-estudio). La ortogonalidad anterior es la clave del tipo de descomposición de la que Akhmeteli y yo hemos hablado: cualquier estado cuántico inicial$\psi(x)$se puede resolver en sus estados propios de energía suponiendo:

luego multiplicando ambos lados de (3) por el$m^{th}$estado propio a su vez e integrando en todo el intervalo real, aplicando (2) para encontrar (observando que podemos integrar la serie en términos):

Ahora bien, es el campo de la teoría espectral el que muestra que nuestro conjunto de funciones propias (1) es completo , es decir , que una suma del tipo (3) puede representar (en el sentido teórico de la medida apropiada) cualquier función continua por tramos.$\psi(x)$cumpliendo$\int_{-\infty}^\infty |\psi(x)|^2 {\rm d}x < \infty$, lo que por supuesto es cierto para estados cuánticos válidos ya que debemos tener$\int_{-\infty}^\infty |\psi(x)|^2 {\rm d}x =1$(esta es solo una condición necesaria para$|\psi(x)|^2$ser una densidad de probabilidad en$x$).

En última instancia, aprenderá que esta "ortogonalidad" es una propiedad de todas las funciones propias de cualquier observable cuántico, no solo del hamiltoniano. Este resultado nos llega de la teoría de Sturm Liouville y se debe a la autoadjunción de los observables cuánticos (más generalmente, se cumple para cualquier operador normal, uno que conmuta con su propio adjunto).

Por último, tenga en cuenta que, desde$\psi_n(x)$es el$n^{th}$función propia de la energía, su variación total en el espacio y el tiempo es$\psi_n(x, t) = \psi_n(x) \exp(-i E_n t/\hbar)$. Entonces, una vez que haya resuelto su estado cuántico inicial en una superposición como (3), puede escribir su dependencia general del tiempo:

¡Esto debería permitirte llegar un poco más lejos!

No puede "simplemente multiplicar" por el exponente ya que la función no es un estado propio del hamiltoniano libre (supongo que el hamiltoniano libre (sin potencial) se asume en el problema). Por lo tanto, debe expandir la función inicial en una serie de Fourier (una suma de estados propios del momento) y solo luego multiplicar los términos en la expansión por los exponentes con las energías relevantes.

EDITAR (3/11/2013): como el hamiltoniano resulta ser el de un oscilador, debe expandir la función en una serie en los estados propios del hamiltoniano. Consulte http://www.gauge-institute.org/delta/HermiteDelta.pdf , fórmulas al final de la página 10 y al comienzo de la página 11.