Sobre la noción de la autointeracción de un campo

Me temo que está buscando una imagen que no está allí, porque piensa tanto en los campos como en las cargas de manera clásica. En la teoría cuántica de campos, no hay campos en los que las partículas localizadas se muevan e interactúen con ellas; todas las "partículas" surgen de los propios campos , y todo lo que es dinámico en esta teoría son los campos . Sin embargo, puede pensar en la teoría clásica de campos para empezar, por ejemplo, utilizada para describir la oscilación de una cuerda vibrante. Introducir "términos de interacción" en esa teoría hace que las frecuencias resonantes se desplacen y la descripción de la oscilación, o de la propagación de una onda en la cuerda, sea mucho más complicada.

Llamamos a un campo (escalar)$\phi$con una densidad lagrangiana

$$L = \frac{1}{2}\partial_\mu\phi\partial^\mu\phi + \frac{1}{2}m\phi^2$$ "libres" y campos con cualquier otra densidad lagrangiana "interactuando". Típicamente, esto significa que la densidad lagrangiana es de la forma $$L = \frac{1}{2}\partial_\mu\phi\partial^\mu\phi + \frac{1}{2}m\phi^2 + V(\phi)$$ donde el potencial $V$es un polinomio en $\phi$, p.ej $V(\phi) = \phi^4$. Esto no contiene una imagen de "cómo" interactúa el campo, al igual que el $\frac{1}{2}m\phi^2$término no contiene ninguna explicación de "cómo" esto es la masa.

Sin embargo, una vez que hemos desarrollado QFT perturbativo hasta el punto de leer las reglas para los diagramas de Feynman fuera del Lagrangiano, el significado de los términos de interacción se vuelve más claro: un término de la forma$\phi^n$permite la aparición de vértices en los que$n$las líneas asociadas al campo se encuentran. Si adoptamos el lenguaje descuidado de no distinguir las "partículas" virtuales de las partículas reales, significa que está permitido que$n$partícula tienen una interacción localizada en tal diagrama. El campo "interactúa" consigo mismo en particular en el sentido de que un$\phi^4$El término permite que una partícula asociada al campo se "divida" en tres de las mismas partículas (despreciando las obstrucciones cinemáticas), un proceso completamente imposible para cualquier campo libre. Sin términos de interacción, ninguna de las partículas fundamentales podría volverse una a la otra o, de hecho, incluso acoplarse entre sí.

Por el contrario, el lenguaje de diagramas aclara por qué el campo "libre" es libre: en ausencia de términos de interacción, lo único que puede dibujar son líneas rectas, que nunca se cruzan, nunca se encuentran: no sucede nada.

Sin embargo, los diagramas de Feynman son, en última instancia, herramientas de cálculo y no una representación de "procesos" reales. Al final, no hay una "imagen" de la autointeracción de un campo cuántico porque, para empezar, no tenemos una imagen real del campo cuántico: nuestra intuición funciona mucho mejor con "partículas", que apenas podemos definen en el caso libre y que se vuelven mal definidos en el caso interactuante.

Esto es más fácil de entender clásicamente. En el nivel clásico, si tienes una cuadrática lagrangiana en los campos, entonces la ecuación de movimiento es lineal en los campos, ya que las ecuaciones de Euler-Lagrange se diferencian una vez. Esto significa que las soluciones a las ecuaciones de movimiento obedecen al principio de superposición, lo que significa que dos configuraciones de campo (por ejemplo, paquetes de ondas) que se dirigen una hacia la otra simplemente se atraviesan.

Los términos de orden superior en el lagrangiano conducen a términos no lineales en las ecuaciones de movimiento, por lo que los paquetes de ondas no solo se cruzan entre sí: pueden dispersarse. Eso es una interacción.