¿Cómo saber el orden de un diagrama de Feynman?

Usando identidades de teoría de grafos elementales, se puede mostrar que el número de bucles en un diagrama conectado está relacionado con el número de líneas externas y el número de vértices de tipo$i$cada uno de los cuales tiene$n_i$líneas unidas a él, está relacionado por

$$\sum \left(\frac{n_i}{2}-1\right) V_i -\tfrac{1}{2}E +1= L$$ Entonces puede ver que para un proceso fijo (fijo $E$), conocer el número de vértices de cada tipo equivale a conocer el número de bucles (que pueden corresponder a multitud de diagramas en el mismo "orden").

En el modelo estándar tenemos dos clases de vértices; los de tres o cuatro líneas. Entonces, como puede ver, especificar el número total de vértices (equivalente al orden con respecto a la suma de las potencias de todas las constantes de acoplamiento), no va a corregir de manera única el número de bucles, sin embargo, especificar el número de vértices de cada clase, puede obtener una correspondencia uno a uno entre el orden de bucle y el orden de potencia constante de acoplamiento, en cuyo caso ambos son equivalentes a la expansión mecánica cuántica en potencias de$\hbar$.

Derivación:

Para derivar esta fórmula, puede tratar cada línea externa como un tipo de vértice con solo una línea adjunta. Eso es$E\equiv V_1$y correspondiente a ella$n_1=1$. Entonces podemos reescribir

$$\sum \left(\frac{n_i}{2}-1\right) V_i +1= L$$ Esta fórmula se puede entender por recursividad, primero demostramos que es cierta para cero vértices, pero esto es obvio ya que para cero vértices tenemos $L=1$¡Solo dibuja un círculo!

Ahora, para probar por recursión, asumimos que la fórmula es correcta y probamos que si agregamos un vértice de tipo$i$, debemos presentar$(n_i/2-1)$bucles nuevos. Esto se puede ver fácilmente tomando su diagrama y colocando un vértice en cualquier lugar de una línea interna (observe que ya no distinguimos entre líneas internas y externas porque$E$ahora es solo otro tipo de vértice).

Cuando insertas este vértice, dos de sus patas ya se comen automáticamente, por lo que necesitamos conectar el resto$n_i-2$piernas, fíjate que debemos conectarlas entre sí, porque todos los demás vértices ya están saturados, y dejar una pierna colgando equivale a introducir un vértice externo que no estamos haciendo por suposición. Ahora bien, esto sólo es posible si$n_i$es par, en cuyo caso obtenemos$(n_i-2)/2$bucles nuevos, lo que prueba la recursividad para vértices pares. Si el vértice es impar, debemos introducirlos por parejas y se produce la misma discusión.

El orden de una cantidad en general se refiere al exponente de la cantidad en una expresión, es decir

$$x^3y^2$$ sería de 3er orden en $x$y segundo orden en $y$. De acuerdo con las reglas de Feynman, cada vértice en un diagrama de Feynman contribuye con un factor de la constante de acoplamiento, por lo que el orden de cada constante de acoplamiento es simplemente el número de vértices de esa interacción. Por ejemplo, el primer diagrama es de segundo orden en $\alpha$.

En QFT es común usar unidades naturales donde$\hbar = c = 1$. Sin embargo, si no sigue esta convención, entonces el número de bucles en su diagrama es igual a la potencia de$\hbar$en tu cantidad final. Los diagramas de árbol no dependen de$\hbar$en absoluto y, en cierto sentido, puede considerarse el resultado puramente "clásico", con diagramas de bucle más altos que le brindan las correcciones cuánticas. Cuando las personas hablan sobre el orden de un diagrama sin mencionar una constante de acoplamiento, esto es a menudo, pero no siempre, lo que quieren decir; realmente depende del contexto.