Sobre la derivación de Landau-Lifshitz de cuatro impulsos

TL; DR: El signo menos proviene de las convenciones de signos de Minkowski.

1. Árbitro. 1 usa solo la convención de firma de Minkowski$(+, -, -, -)$, pero mostraremos ambas convenciones para referencia/claridad. Pongamos también$c=1$por simplicidad. Árbitro. 1 define el tensor métrico

   $$g_{\mu\nu}~=~{\rm diag} (\mp 1, \pm 1, \pm 1, \pm 1) ,\tag{6.5}$$ el$4$-velocidad $$u^{\mu}~:=~\frac{dx^{\mu}}{d\tau}~=~\gamma\frac{dx^{\mu}}{dt}, \qquad \frac{dx^{\mu}}{dt}~=~(1,{\bf v}), \tag{7.1/2}$$ $$\frac{d\tau}{dt}~=~\frac{1}{\gamma} ~=~\sqrt{ \mp g_{\mu\nu}\frac{dx^{\mu}}{dt}\frac{dx^{\nu}}{dt} } ~=~\sqrt{1-v^2}, \tag{7.1b}$$ el funcional de acción fuera de la cáscara $$\begin{align} S[x]~=~&\int_{t_i}^{t_f} \! dt~ L\cr ~=~& -m_0\int_{\lambda_i}^{\lambda_f} \! d\lambda~\sqrt{ \mp g_{\mu\nu}\frac{dx^{\mu}}{d\lambda}\frac{dx^{\nu}}{d\lambda} }\cr ~=~&-m_0 \Delta \tau, \cr \Delta \tau~:=~&\tau_f-\tau_i,\end{align}\tag{8.1}$$ y el lagrangiano $$L~=~-\frac{m_0}{\gamma}. \tag{8.2}$$ Debemos señalar que la normalización global del Lagrangiano (8.2) no es arbitraria, sino que se deriva de la necesidad de reproducir la fórmula no relativista correcta $$L~=~\frac{1}{2}m_0v^2 -(\text{rest energy})+ {\cal O}(v^4)\qquad\text{for}\qquad v~:=~|{\bf v}|~\ll~ 1.$$

2. Árbitro. 1 concluye que la función de acción de Dirichlet on-shell$S(x_f,x_i)$satisface

   $$\begin{align} \delta S ~\stackrel{(8.1)}{=}~~~& \pm m_0\int_{\lambda_i}^{\lambda_f} \! d\lambda~\frac{g_{\mu\nu}\frac{dx^{\mu}}{d\lambda}\frac{d\delta x^{\nu}}{d\lambda}}{\sqrt{ \mp g_{\rho\sigma}\frac{dx^{\rho}}{d\lambda}\frac{dx^{\sigma}}{d\lambda} }}\cr ~=~~~~&\pm m_0\int_{t_i}^{t_f} \! dt~u_{\mu}\frac{d\delta x^{\mu}}{dt} \cr ~\stackrel{\text{int. by parts}}{=}& \pm m_0 \left[ u_{\mu} ~ \delta x^{\mu}\right]_{t=t_i}^{t=t_f} ~\mp m_0\int_{t_i}^{t_f} \! dt~\underbrace{\frac{du_{\mu}}{dt}}_{\text{EOM}}~ \delta x^{\mu} \tag{9.10} \cr ~\stackrel{\text{EOM}}{\approx}~~&\pm m_0 \left( u_{\mu}^f ~ \delta x^{\mu}_f - u_{\mu}^i ~\delta x^{\mu}_i\right), \tag{9.11} \cr u_{\mu}~:=~~~~&g_{\mu\nu} u^{\nu}, \end{align}$$ cf. por ejemplo, mi Phys.SE responde aquí y aquí . [Aquí el$\approx$símbolo significa igualdad módulo EOM. Las palabras on-shell y off-shell se refieren a si los EOM están satisfechos o no.]

3. Hasta ahora no ha habido lugar para diferentes convenciones. En este punto Ref. 1 elige la contravariante$4$-impulso para ser

   $$(E,{\bf p}) ~=~p^{\mu}~=~m_0 u^{\mu}, \tag{9.13/14}$$ lo que significa que la covariante$4$-momentum entonces lee $$(\mp E,\pm {\bf p}) ~=~p_{\mu}~=~m_0 u_{\mu}.$$

4. Para ecs. (9.11) y (9.13/14) se cumplen, entonces tenemos que definir

   $${\bf p}~:=~ \frac{\partial L}{\partial {\bf v}},\tag{9.1}$$ $$p^f_{\mu}~:=~\color{red}{\pm} \frac{\partial S}{\partial x^{\mu}_f}, \tag{9.12}$$ $$p^i_{\mu}~:=~\mp \frac{\partial S}{\partial x^{\mu}_i}.$$

Referencias:

1. LD Landau & EM Lifshitz, Vol.2, La teoría clásica de los campos, $\S$9.