Obtener el Lagrangiano de la acción en el espacio-tiempo curvo

Supongamos que tengo esta acción:

S = ∫ d 4 X − gramo × algo

dónde gramo es el determinante de la métrica.

¿Debo tomar el Lagrangiano para ser:

L = − gramo × algo

o:

L = algo

¿en cambio? Sí, esta es una pregunta estúpida.

Respuestas (2)

Es, en cierto sentido, solo semántica, pero diría que la elección natural es L = − gramo × algo . Si toma esta definición, la forma general de las ecuaciones de movimiento es la misma que cuando se hace QFT en Minkowski, con las generalizaciones apropiadas para tener en cuenta la curvatura. Además, creo que es una práctica habitual definir la acción por

S ≡ ∫ d t L = ∫ d 4 X L
Esta forma también se conserva cuando se acepta la convención que propongo.

La elección natural es en realidad L = algo , la razón es que el − gramo término se empareja naturalmente con la forma de volumen d 4 X .

Incluso antes de considerar el espacio-tiempo curvo, considere las coordenadas no cartesianas. Por ejemplo coordenadas esféricas

d t d X d y d z = r 2 pecado ⁡ θ   d t d r d θ d ϕ

¿De dónde viene ese término? r 2 pecado ⁡ θ ¿viene de? Ese es el determinante de la matriz jacobiana del cambio de coordenadas. este es el papel − gramo juegos, sin los cuales la forma del volumen no sería invariante a los cambios de coordinación.

Si lo separaras de la otra manera, ni la densidad lagrangiana ni la forma del volumen serían invariantes de Lorentz. Así que tiene mucho más sentido mantener el − gramo con la integración, y mantener L solo una densidad lagrangiana.

Estoy de acuerdo con @PhysStudent, la elección natural es de hecho L = algo . El − gramo d X 0 ∧ d X 1 ⋯ parte que aparece en el a C t i o norte es la forma del volumen en la variedad. Por definición tenemos que la acción se toma como la integral sobre el espacio (digamos Ω ) donde la densidad lagrangiana se define: S := ∫ Ω L = ∫ d 4 X − gramo L .
El problema con la definición. L = − gramo × ⋯ es que solo funciona para variedades de Lorentz. Si quisiera trabajar en un espacio de Riemann (por cualquier motivo), su definición ya no es válida. Si elimina cualquier rastro de la − gramo del lagrangiano y decimos que surge en forma de volumen dentro de la acción, entonces nunca puede surgir ninguna inconsistencia.
Estoy de acuerdo con sus puntos, pero para derivar las ecuaciones de Euler-Lagrange, normalmente tomamos L = | gramo | × … ?
si olvidas el − gramo término en cosmología, su materia no se diluirá, etc. Trabajando en un fondo curvo y dinámico, sería un error rudimentario omitir el − gramo término.
Además, tenga en cuenta que sólo con el − gramo término el Lagrangiano es verdaderamente una densidad .
@JamalS Para derivar las ecuaciones de Euler-Lagrange, comenzamos con la acción, ya que proviene del principio de acción estacionaria. Así que no estoy seguro de por qué piensas que un − gramo se está omitiendo.
@Void Si está diciendo el − gramo se necesita para tener la transformación de Lagrange como una densidad escalar, entonces estás diciendo d 4 X se transforma bien sin el factor g? Parece que el argumento de coordenadas esféricas anterior (o simplemente de la definición que usa Arthur) no está de acuerdo con eso.
@PhysStudent Bueno, entonces en tus ecuaciones de Euler-Lagrange no tendrías L pero L − gramo debido a la ∂ X m términos ( d ϕ , m variaciones y las per partes). La densidad de Lagrange debería ser lo que aparece en las ecuaciones de Lagrange, ¿no es así? Toda la argumentación con formas de volumen es defectuosa cuando se trata de variedades no orientables: aquí estamos hablando realmente de densidades , no de formas de volumen. d 4 X es entonces sólo una densidad de un peso diferente .
@Void De acuerdo, tal vez esto sea solo una convención de notación, porque nunca he visto el − gramo subsumida en la densidad lagrangiana. En cambio, se deja emparejado con el término de volumen, como con la Acción de Einstein-Hilbert
@John En supergravedad a través del formalismo superespacial, densidad quiral (que incluye − gramo como el componente más bajo) generalmente se toma en la densidad de Lagrange.
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