¿Por qué las densidades y acciones lagrangianas en la teoría cuántica de campos son siempre invariantes de Lorentz?

En realidad, el lagrangiano para la mecánica newtoniana es invariante galileano. Si bien "cambia" bajo un pequeño impulso$x \mapsto x + \epsilon t$, cambia por una derivada de tiempo total. Cuando un Lagrangiano cambia por una derivada total bajo una transformación, todavía decimos que el Lagrangiano es "invariante" porque agregar una derivada total a un Lagrangiano no cambia su dinámica.

Del mismo modo, la densidad lagrangiana en la teoría de campos es igualmente invariante bajo una transformación de Lorentz, porque también cambia por una derivada total. (Esto generalmente no se discute en las lecciones introductorias porque hacen cambios de coordenadas que ocultan este hecho). Al igual que en el ejemplo de la mecánica newtoniana, cambiar por una derivada total no afecta la dinámica. En otras palabras, si el Lagrangiano cambia por una derivada total bajo pequeñas transformaciones de Lorentz, entonces sabes que la transformación de Lorentz de una solución a las ecuaciones de movimiento seguirá siendo una solución a las ecuaciones de movimiento.

Su punto es esencialmente que, mientras que reconocemos$\tfrac12m\dot{x}^2-V(x)$cambios bajo$x\mapsto x+vt$, interés en$\tfrac12\partial^\mu\phi\partial_\mu\phi-V(\phi)$depende de su invariancia bajo las transformaciones de Lorentz de$x^\mu$. (Por ahora, no vayamos a alternativas más elaboradas para ninguno de los dos). Sin embargo, la comparación aquí es defectuosa, y el problema no es que la invariancia de Galileo sea inexacta; podríamos reemplazar el primer lagrangiano con una alternativa relativista, y no abordaría el punto que estoy a punto de exponer.

Lo que has encontrado es realmente la diferencia entre la mecánica, para la cual la acción es una integral de tiempo de un Lagrangiano, y la teoría de campo, para la cual es una integral múltiple de una densidad de Lagrangiano. El aspecto cuántico es irrelevante.

Tenga en cuenta que$x^\mu$en el segundo ejemplo es en realidad análoga a$t$en el primero; yendo en la otra dirección, el equivalente de$x$es$\phi$. El papel de las transformaciones de Lorentz es transformar covariantemente$\partial_\mu$, que es análogo a$\frac{d}{dt}$, que es invariante bajo transformaciones de Galileo. Por el contrario, el$\phi$Lagrangiano no es invariante bajo$\phi\mapsto\phi+v_\mu x^\mu$.

Un complemento divertido que apreciará: puede escribir teorías que tienen esta invariancia; sus soluciones se llaman galileones. (Asistí a una conferencia sobre ellos, pero es un término tan poco conocido que no tiene un artículo de Wikipedia, solo artículos de investigación).