Realización de Wick Rotation para obtener la acción euclidiana de un campo escalar

Question

Realización de Wick Rotation para obtener la acción euclidiana de un campo escalar

apt45

estoy trabajando con la firma $(+,-,-,-)$ y con un espacio-tiempo de Minkowski Lagrangiano

L_{METRO} = Ψ^{†} (i \partial_{0} + \frac{\nabla^{2}}{2 metro}) Ψ .

$\mathcal{L}_M ~=~ \Psi^\dagger\left(i\partial_0 + \frac{\nabla^2}{2m}\right)\Psi.$ La acción de Minkowski es

S_{METRO} = \int d t d^{3} X L_{METRO} .

$S_M ~=~ \int dt d^3x \mathcal{L}_M.$ Debería obtener la acción euclidiana por rotación de Wick.

Mi pregunta es sobre la forma en que debo realizar la rotación de Wick. El tema es algo que ya se ha preguntado ( mira aquí ). El problema es que la respuesta a la pregunta no es satisfactoria para mí y para este caso especial.

Dado que el intervalo de espacio-tiempo está definido por $ds^2 = dt^2 - d\vec{x}^2$ , si realizo una rotación de mecha (simplemente girando el eje de tiempo) obtengo un intervalo euclidiano negativo.

¿Cuál es el sentido de eso? ¿Cuál es la conexión entre las acciones físicas calculadas en dos firmas diferentes?
Puedo realizar la rotación con diferentes signos. $t =\pm i\tau$ . Sé que, si existen polos, debo elegir el signo correcto para no cruzarlos. Pero en este caso, aparentemente puedo elegir ambos y obtengo siempre el mismo intervalo euclidiano negativo pero resultados diferentes.

si elijo $t = i\tau$ yo obtengo

S_{METRO} = i \int_{+ i \infty}^{- i \infty} d τ d^{3} X Ψ^{†} (i \frac{\partial}{\partial i τ} + \frac{\nabla^{2}}{2 metro}) Ψ = - i \int_{- i \infty}^{+ i \infty} d τ d^{3} X Ψ^{†} (\frac{\partial}{\partial τ} + \frac{\nabla^{2}}{2 metro}) Ψ

$S_M ~=~i\int_{+i\infty}^{-i\infty} d\tau d^3x \Psi^\dagger\left(i\frac{\partial}{\partial i\tau} + \frac{\nabla^2}{2m}\right)\Psi ~=~ -i\int_{-i\infty}^{+i\infty} d\tau d^3x \Psi^\dagger\left(\frac{\partial}{\partial \tau} + \frac{\nabla^2}{2m}\right)\Psi$

si elijo $t = -i\tau$ yo obtengo

S_{METRO} = - i \int_{- i \infty}^{+ i \infty} d τ d^{3} X Ψ^{†} (- i \frac{\partial}{\partial i τ} + \frac{\nabla^{2}}{2 metro}) Ψ = - i \int_{- i \infty}^{+ i \infty} d τ d^{3} X Ψ^{†} (- \frac{\partial}{\partial τ} + \frac{\nabla^{2}}{2 metro}) Ψ

$S_M ~=~-i\int_{-i\infty}^{+i\infty} d\tau d^3x \Psi^\dagger\left(-i\frac{\partial}{\partial i\tau} + \frac{\nabla^2}{2m}\right)\Psi ~=~ -i\int_{-i\infty}^{+i\infty} d\tau d^3x \Psi^\dagger\left(-\frac{\partial}{\partial \tau} + \frac{\nabla^2}{2m}\right)\Psi$

Creo que hay una pequeña diferencia que no entiendo.

¿La acción euclidiana está definida por $S_M = i S_E$ o por $S_M = -iS_E$ ?

Respuestas (3)

Realización de Wick Rotation para obtener la acción euclidiana de un campo escalar

qmecanico · Answer 1

Para que la integral de trayectoria euclidiana sea convergente, el factor de Boltzmann debe ser una función exponencialmente decreciente del campo escalar $\phi$ . Esto a su vez dicta que la dirección de rotación de la mecha . (Quizás debería enfatizarse que la rotación de Wick no es simplemente un cambio de nombre de las variables de tiempo, sino que implica una deformación real del contorno de integración de tiempo en el plano de tiempo complejo). Las convenciones estándar para la rotación de Wick son

\begin{matrix} (1) & \begin{aligned} - S_{mi} = & i S_{METRO}, \\ t_{mi} = & i t_{METRO}, \\ L_{mi} = & - L_{METRO}, \end{aligned} \end{matrix}

$\begin{align} -S_E~=~&iS_M, \cr t_E~=~&it_M, \cr {\cal L}_E~=~&-{\cal L}_M,\end{align} \tag{1}$

donde los subíndices $E$ y $M$ representan a Euclid y Minkowski, respectivamente. En el caso de OP

\begin{matrix} (2) & \begin{aligned} L_{METRO} = & i ϕ^{*} \frac{d ϕ}{d t_{METRO}} - V, \\ L_{mi} = & ϕ^{*} \frac{d ϕ}{d t_{mi}} + V, \\ V = & \frac{1}{2 metro} \nabla ϕ^{*} \cdot \nabla ϕ . \end{aligned} \end{matrix}

$\begin{align} {\cal L}_M~=~&i\phi^{\ast} \frac{d\phi}{dt_M}- {\cal V} ,\cr {\cal L}_E~=~&\phi^{\ast} \frac{d\phi}{dt_E}+ {\cal V} ,\cr {\cal V}~=~&\frac{1}{2m}\nabla\phi^{\ast}\cdot \nabla\phi .\end{align} \tag{2}$ Consulte también esta publicación Phys.SE relacionada.

Juan Pérez · Answer 2

Esto está sucediendo porque su campo depende de $t$ , $\Psi = \Psi (x,t)$ . Por lo tanto, cuando realiza la rotación de Wick $t = i\tau$ , también Wick rotas a tu campo, y obtienes una acción para $\Psi(x,i\tau)$ . En el segundo caso, se obtiene una acción de $\Psi(x,-i\tau)$ . esos no son los mismos $\Psi$ 's.

Sí, es cierto, pero la acción euclidiana clásica es la segunda que escribí con $\Psi = \Psi(x,t)$ ¿no?

jim quema · Answer 3

Tenga en cuenta que $\int^{\infty}_{-\infty}f(t)dt=\int^{\infty}_{-\infty}f(-t)dt$ y también $\int^{\infty}_{-\infty}\frac{df(t)}{dt}dt=\int^{\infty}_{-\infty}\frac{df(-t)}{-dt}dt$

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apt45

Respuestas (3)

qmecanico

Juan Pérez

apt45

jim quema

¿Está bien rotar Wick para dar el negativo de la métrica euclidiana? Además, ¿podríamos hacer que las coordenadas similares al espacio sean imaginarias?

¿Cuál es el significado del signo negativo en Δs2=Δx2+Δy2+Δz2−(cΔt)2Δs2=Δx2+Δy2+Δz2−(cΔt)2\Delta s^2 = \Delta x^2 + \Delta y^2 + \Delta z^2 - (c\Delta t)^2?

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