¿De dónde sale el signo menos en el tensor métrico?

Tratando de entender el AFCIGR de Schutz, ¿de dónde aparece el signo menos en el tensor métrico?

métrico

Entiendo que esto expresa la invariancia del intervalo del espacio-tiempo. Schutz dice (creo) que la métrica es un tensor (0,2). Supongo que eso significa que es el producto de dos formas únicas, por lo que presumiblemente una de estas formas únicas tiene un componente de tiempo -ve. ¿Qué significa eso? ¿Por qué ambas formas únicas no tienen un componente de tiempo -ve? Mirando un diagrama de Minkowski, ¿cuál es una forma sencilla de comprender/visualizar esas formas únicas? En mi nivel, se han multiplicado dos cosas para dar una matriz de 4x4 que tiene -1 en la esquina superior izquierda. ¿Cuáles son esas dos cosas y por qué dan un componente de tiempo -1?

Un comentario a la pregunta (v1): Tenga en cuenta que en general (y de hecho también en el caso específico mencionado), un ( 0 , 2 ) tensor no siempre es un producto de co-vectores. En cambio, es una suma de productos de co-vectores. (En el caso específico la suma contiene al menos 4 términos.) De hecho, lo mismo es cierto si el − 1 había sido un + 1 .

Respuestas (2)

La métrica es una forma bilineal simétrica

d s 2 = η i j d X i d X j = − d t 2 + d X 2 + d y 2 + d z 2
Por lo tanto, el signo menos no es una propiedad de las formas únicas. d X i pero de los coeficientes η i j

Gracias por eso, pero todavía no entiendo de dónde viene el signo menos.
@ user4075: No estoy seguro de entender lo que quiere decir con "de dónde viene el signo menos". En SR el espacio-tiempo es un espacio plano con una métrica de firma (-+++), más o menos por definición. Por supuesto, hay otras formas de decir lo mismo, por ejemplo, el grupo de isometría es SO (3,1), pero no creo que esto responda a su pregunta, ¿verdad?
Olaf: Estoy feliz de admitir que estoy fuera de mi alcance aquí (por ejemplo, no sé qué es una "forma bilineal simétrica", y todavía tengo problemas con las formas únicas). Asumí (erróneamente, gracias a Qmechanic) que un tensor (0,2) siempre es el producto de dos formas únicas y, por lo tanto, asumí que esto podría explicar por qué hay un signo menos en la métrica. Wikipedia (Introducción a la relatividad especial) dice: "Minkowski... encontró que la fórmula correcta era en realidad bastante simple, difiriendo solo por un signo del teorema de Pitágoras". Así que asumo que simplemente descubrió que funcionaba.

Aunque se puede pensar en la métrica como distancias infinitesimales, también se puede pensar de manera dual, como ecuaciones diferenciales. Por lo tanto, con su convención de signos para la métrica, la ecuación de onda es

gramo i j ∂ 2 ϕ ( X ) ∂ X i ∂ X j = − ∂ 2 ϕ ( X ) ∂ t ∂ t + ∂ 2 ϕ ( X ) ∂ X ∂ X + ∂ 2 ϕ ( X ) ∂ y ∂ y + ∂ 2 ϕ ( X ) ∂ z ∂ z = 0.
En este POV, la métrica determina las ecuaciones diferenciales que satisfacen los campos que se introducen en el espacio-tiempo. La ecuación de Laplace tiene propiedades muy diferentes a las de la ecuación de onda.

Hay formalismos en los que d t se reemplaza por id t , de modo que la métrica pueda ser uniformemente positiva. Sin embargo, la mayoría de la gente guarda esto como un truco matemático bajo la manga, no como una parte fundamental de la construcción de una teoría. Hubo un período en el desarrollo de GR en el que el tiempo imaginario se usaba mucho más comúnmente que ahora.

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