Signo de la métrica de Minkowski y tiempo propio

Tal como lo entiendo, el intervalo de espacio-tiempo$\sigma$Se define como$\sigma^2=\eta_{\alpha \beta}x^\alpha x^\beta$. ¿Por qué algunos libros definen la métrica con los signos (-,+,+,+) y otros con (+,-,-,-)? En el libro Spacetime and Geometry la métrica de Minkowski$\eta_{\alpha \beta}$Se define como

$\eta_{\alpha \beta}=\begin{pmatrix} -1& 0& 0& 0\\ 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 1 \end{pmatrix}$

mientras que Wikipedia usa signos invertidos (+,-,-,-). ¿Cuándo eliges qué definición de la métrica? También el libro Spacetime and Geometry utiliza$\Delta \sigma^2 = -c^2t^2+(x^2+y^2+z^2)$para calcular el intervalo de espacio-tiempo y define el intervalo de tiempo propio como$\Delta \tau^2=-\Delta \sigma^2$mientras que Wikipedia y el libro Introducción a la Teoría de la Relatividad definen$\Delta \tau^2=-\frac {\Delta \sigma^2}{c^2}$? Si quiero calcular el tiempo que mide un objeto en movimiento, ¿qué definición del tiempo adecuado y qué firma métrica debo usar? Estoy muy confundido acerca de esto, ¿alguien podría explicarme esto?