Diferencias entre la densidad de probabilidad y el valor esperado de la posición

En posición-espacio (es decir, cuando tus funciones son funciones de x), la función$\int|\Psi|^2$da la probabilidad de encontrar la partícula en un rango dado. El valor esperado de x es donde esperaría encontrar la partícula. A menudo es esencialmente el promedio ponderado de todas las posiciones donde la densidad de probabilidad,$|\Psi|^2$, es la función de ponderación (eso no es exactamente lo que es, pero es una analogía útil). De manera similar, puede encontrar el valor esperado para cualquier cantidad medible. En este espacio, la diferencia entre los dos es que el valor esperado es un número que representa la posición promedio esperada de la partícula en muchas mediciones, mientras que la probabilidad es un número que le da la probabilidad de encontrar la partícula dentro de los límites de integración.

Sin embargo, puede utilizar cualquier base diferente. Por ejemplo, podría elegir impulso-espacio,$\left|\Psi\right>$es$\Psi(p)$(Físicos cuánticos, por favor, no me maten por esa afrenta a la notación). En el espacio de cantidad de movimiento, la integral$\int|\Psi|^2$es ahora la probabilidad de que la partícula tenga un rango dado de momentos. Sin embargo, el valor esperado de x sigue siendo la medida promedio de x. ¿Cuál, usted pregunta, es el punto? El valor esperado es un número que se puede encontrar en cualquier base que represente el valor "promedio" de una medición. La probabilidad encontrada por$\int|\Psi|^2$es la probabilidad de que se encuentre una partícula existente dentro de un rango específico de valores para la base que está utilizando.

$\int_{x_1}^{x_2}|\Psi|^2dx$es "hay #% de posibilidades de que la partícula se encuentre entre$x_1$y$x_2$"

$\left<\Psi\right|x\left|\Psi\right>$es "la posición promedio esperada de la partícula sobre un gran número de mediciones de muestra es en$x$=#"

$|\Psi|^2(x)$es una función "la probabilidad por unidad de longitud de encontrar la partícula en esta posición es #%"

El valor esperado es un concepto diferente de la probabilidad. De hecho, puede tener un valor esperado de energía, momento angular, etc., no solo para la posición.

Un valor esperado de un observable para un estado dado$\Psi$es el valor promedio de un gran número de mediciones de ese observable, asumiendo que cada medición se realiza en el mismo estado$\Psi$. Por ejemplo, si tiene una probabilidad de 0,5 para medir la energía$E_o$y probabilidad 0.5 para medir$-E_o$, el valor esperado es$0.5\times E_o + 0.5\times(-E_o) = 0$. Como muestra este ejemplo, el valor esperado no tiene que ser una de las medidas "permitidas". Esto también muestra que conocer las probabilidades es un concepto diferente a conocer el valor promedio de una gran cantidad de mediciones.

Lo mismo ocurre con la posición. Es posible que sepa cuál es la densidad de probabilidad en una posición particular, pero necesitaría hacer cálculos adicionales para averiguar cuál sería el valor promedio de muchas mediciones de posición.

Dejar$\Omega\subseteq \mathbb{R}^n$; entonces$\int_\Omega \lvert\psi(x)\rvert^2dx$, para una función normalizada$\psi\in L^2(\mathbb{R}^n)$da la probabilidad de que la partícula esté en la región del espacio$\Omega$, pero no da más información sobre su posición. Si desea obtener una información cuantitativa sobre este último (dentro de los límites de la indeterminación cuántica), debe calcular el valor esperado$\int_{\mathbb{R}^n} x_j\lvert\psi(x)\rvert^2dx$, para cada componente$x_j$.

El valor esperado (de posición) representa el valor promedio (posición) para la partícula (tiene unidades de longitud en este caso) que es diferente de la ubicación real de la partícula (también unidades de longitud). Por ejemplo, tome un electrón en un átomo de hidrógeno; el valor esperado para todos los niveles de energía está en el núcleo aunque muchos de los niveles de energía tienen 0 probabilidad de estar allí .

La función de onda representa una distribución de valores posibles y debe volverse sin unidades (técnicamente, unidades de porción de una partícula) después de que la elevamos al cuadrado y la integramos con respecto a cualquier base que estemos viendo. En una dimensión, tiene unidades de longitud.$^{-1/2}$.

Tan importante como es, la mayoría de las cantidades que calculamos primero (valor esperado, funciones de onda del espacio físico, etc.) brindan una introducción simple e intuitiva al formalismo y la práctica utilizando diferentes bases. Las cantidades más valiosas (fácilmente medibles) pueden incluir el valor esperado de la polarización, la energía, el impulso y varias incertidumbres.

Los físicos tienen la horrible costumbre de usar notaciones ad-hoc y Jim hace un gran trabajo explicando las notaciones para diferentes valores físicos y la elección de la base, aunque disculparse con los físicos por abusar de la notación es divertidísimo.

Tengo 5 bolsas etiquetadas del 1 al 5, y he dejado caer al azar las letras de la A a la J en las bolsas. Eliges una letra al azar y ganas tantos francos como el número de la bolsa que contiene tu letra.

Si he distribuido las letras de manera uniforme, entonces debería haber 2 letras en cada bolsa, por lo que podríamos decir que ψ(número de bolsa) = ψ = sqrt(2).

Pero si queremos saber cuántos francos esperamos ganar en promedio, entonces decimos:

E[Francos] = [1 Franco x 2 + 2 Francos x 2 + ... ]/[2 + 2 + ... ] = 3

ψ no es el valor esperado, sino la distribución entre los valores disponibles. Por lo tanto, para encontrar el valor promedio esperado, debe hacer un promedio ponderado utilizando los valores y las probabilidades.