En la formulación algebraica de la Mecánica Cuántica, ¿cómo surgen naturalmente las amplitudes de probabilidad?

Ciertamente puede definir la amplitud de probabilidad de un par de estados puros que son estados normales con respecto a un estado algebraico dado y este objeto matemático tiene las mismas propiedades que en la formulación estándar.

Cuando tienes un estado algebraico en el$C^*$-álgebra$A$, eso es positivo ($\phi(a^*a)\geq 0$), normalizado ($\phi(I)=1$), funcional lineal$\phi : A \to \mathbb C$, puedes representarlo en un espacio de Hilbert mediante la construcción GNS .

Hasta los isomorfismos unitarios hay un triple$(\cal H, \pi, \Psi)$, dónde

(i)$\cal H$es un espacio de Hilbert,

(ii)$\pi: A \to B(\cal H)$un continuo)$^*$-representación,

(iii)$\Psi \in \cal H$un vector unitario

tal que

(a)$\pi(A)\Psi$es denso en$\cal H$

y

(b)$\phi(a)= \langle \Psi|\pi(a) \Psi\rangle$.

En aras de la sencillez supongamos de ahora en adelante que$\phi$es puro (es decir, un elemento extremo del conjunto convexo de estados algebraicos).

los vectores$\Phi \in \cal H$representan (hasta la normalización y una fase) otros estados puros del sistema, el llamado estado puro normal del sistema en el folium de$\phi$

NB Si$\dim(\cal H) = \infty$, hay muchos otros estados puros algebraicos que no pueden representarse como vectores en$\cal H$.

Estos estados son de la forma$\pi(a)\Psi$($a\neq 0$) o límite de secuencias$\pi(a_n)\Psi$de tales vectores debido a (a) arriba. Ciñéndonos al caso más elemental de un estado puro normal definido por el vector$\pi(a)\Psi$. Algebraicamente se define por el funcional$\phi_a(b) = \frac{\langle \pi(a)\Psi | \pi(b) \pi(a) \Psi\rangle}{\langle \pi(a)\Psi | \pi(a) \Psi\rangle}$es decir, aprovechar la construcción GNS (especialmente (b) arriba)

$$A \ni b \mapsto \phi_a(b) = \frac{\omega(a^*ba)}{\omega(a^*a)}\tag{1}\:.$$

La amplitud de probabilidad de$\Phi_1 = \phi(a_1)\Psi$y$\Phi_2 = \phi(a_2)\Psi$es, como de costumbre,

$$\frac{\langle \Phi_1| \Phi_2 \rangle}{||\Phi_1|| ||\Phi_2||} = \frac{\langle \pi(a_1)\Psi| \pi(a_2)\Psi\rangle}{||\Phi_1|| ||\Phi_2||} = \frac{\langle \Psi| \pi(a_1)^*\pi(a_2)\Psi\rangle}{||\Phi_1|| ||\Phi_2||}= \frac{\langle \Psi| \pi(a_1^*a_2)\Psi\rangle}{||\Phi_1|| ||\Phi_2||} = \frac{\langle \Psi| \pi(a_1^*a_2)\Psi\rangle}{\sqrt{\phi(a_1^*a_1)\phi(a_2^*a_2)}} = \frac{\phi(a_1^*a_2)}{\sqrt{\phi(a_1^*a_1)\phi(a_2^*a_2)}}\:.$$ Concluimos que, dado un estado puro algebraico $\phi$y considerando dos estados puros normales $\phi_{a_i}$, $a_1,a_2 \in A$definida por (1), la amplitud de probabilidad de $\phi_{a_1}$y $\phi_{a_2}$se define como $$PA(\phi_{a_1},\phi_{a_2}) := \frac{\phi(a_1^*a_2)}{\sqrt{\phi(a_1^*a_1)\phi(a_2^*a_2)}}\:.$$