Sobre estados, observables e interpretación funcional de ondas en QFT con campos gauge

El enfoque algebraico da una mejor idea de cuáles son los estados y los observables de una teoría cuántica, y esto también se aplica a los sistemas de infinitas dimensiones.

En la terminología matemática moderna, los observables de la mecánica cuántica son los elementos de una topología.$*$-álgebra, y los estados son objetos de su dual topológico que son positivos y tienen norma uno. El caso más habitual es tomar la$*$-álgebra para ser un$C^*$o$W^*$(von Neumann) álgebra; sin embargo, con tal elección, los operadores ilimitados no son, estrictamente hablando, observables (pero pueden estar "afiliados" al álgebra si sus proyecciones espectrales están en el álgebra). La ventaja de este enfoque abstracto es que, mediante la construcción GNS, uno puede asociar inmediatamente un espacio de Hilbert al espacio dado.$*$-álgebra (y un estado particular), donde los elementos del álgebra actúan como operadores lineales, y el estado dado como el promedio de un vector espacial de Hilbert específico.

En términos físicos habituales, solo los operadores autoadjuntos se consideran observables, ya que un observable debe tener un espectro real (y podría estar asociado a un grupo fuertemente continuo de operadores unitarios). El campo cuántico generalmente se considera un observable en un QFT (es autoadjunto pero ilimitado, por lo que a menudo estaría afiliado al campo cuántico).$W^*$álgebra generada por su familia de exponenciales, los operadores de Weyl); y es perfectamente posible, teóricamente, medir su valor medio en estados (realmente hacerlo en experimentos, eso es otro problema).

Las teorías cuánticas de campos casi siempre se representan en espacios de Fock. Sin embargo, dado que el grupo de Heisenberg asociado con un espacio simpléctico de dimensión infinita no es localmente compacto, el teorema de Stone-von Neumann no se cumple y existen infinitas representaciones no equivalentes irreducibles de las relaciones de Weyl , siendo el espacio de Fock solo una de ellas. Para complicar más las cosas, el teorema de Haag establece que, en términos generales, las representaciones de Fock libres e interactivas son unitariamente no equivalentes (pero ese es un problema principalmente para la teoría de la dispersión, no a un nivel fundamental).

La "interpretación funcional de onda" (nunca escuché esta terminología) es solo la naturaleza funcional del segundo procedimiento de cuantización que puede asociar a cada espacio de Hilbert el espacio de Fock correspondiente. Esto se debe a Segal y también puede consultar a Nelson . La idea es que a cada espacio de Hilbert$\mathscr{H}$se puede asociar un espacio de probabilidad gaussiano$(\Omega,\mu)$tal que el espacio de Fock$\Gamma(\mathscr{H})$es unitariamente equivalente a$L^2(\Omega,\mu)$, y el mapa entre$\mathscr{H}$y$\Gamma(\mathscr{H})$($L^2(\Omega,\mu)$) es un funtor en la categoría de espacios de Hilbert con aplicaciones autoadjuntas y unitarias como morfismos. El$L^2(\Omega,\mu)$punto de vista se vuelve muy natural si uno está interesado en estudiar QFTs por medio del enfoque integral estocástico (fórmulas de Feynman-Kac) en tiempo euclidiano.