Distinguir experimentalmente entre estados físicos topológicamente no equivalentes en la teoría de calibre

Hay muchos ejemplos de teorías de calibre con grupos de calibre desconectados, pero hasta donde yo sé, los sectores topológicos no triviales de estas teorías están más allá de las capacidades experimentales actuales.

Para que las transformaciones de calibre grandes actúen de manera no trivial en los estados, debe ser una simetría del hamiltoniano. Por ejemplo, el hamiltoniano de Maxwell depende únicamente de los campos eléctrico y magnético. En el espacio plano, el electromagnético$U(1)$el grupo de indicadores está conectado, por lo que no existen grandes transformaciones de indicadores. Sin embargo, si se proporcionan las condiciones de contorno apropiadas, por ejemplo, condiciones de contorno periódicas en una dirección, entonces existen grandes transformaciones de calibre y son simetrías del hamiltoniano.

Por el contrario, el hamiltoniano, una partícula cargada que se mueve bajo la influencia de un campo electromagnético de fondo, es solo casi invariante, solo cuando la transformación de calibre se realiza también en las funciones de onda, el espectro se conserva. En este caso, las transformaciones de calibre grandes deben considerarse como redundancias de calibre en lugar de simetría. (Sin embargo, un gas de tales partículas tiene un segundo hamiltoniano cuantificado invariante, pero no sé cómo explotar este hecho).

Esta es la razón por la que el sistema Aharonov-Bohm de una partícula que se mueve en un círculo alrededor de un flujo magnético no posee simetrías de calibre grandes a pesar de que el grupo de calibre electromagnético está desconectado porque$\pi_1(U(1)) = \mathbb{Z}$.

Lo que les voy a describir aquí es un experimento (bastante ingenioso) sugerido por S.-R. Eric Yang . Propuso una modificación de la configuración de Aharonov-Bohm para introducir funciones propias de energía degeneradas relacionadas por una transformación de calibre grande. Este experimento parece factible, pero a partir de una búsqueda en Google Scholar, no parece que este experimento se haya realizado todavía.

El truco consiste en usar una partícula de espín medio y agregar un campo eléctrico en la dirección radial para generar una interacción de órbita de espín (proporcional a:$\vec{\sigma} \cdot \left (\vec{p} – i e \vec{A} \right )$). El término de la órbita de espín rompe la invariancia de la inversión del tiempo, pero Yang notó que cuando el potencial de Aharonov-Bohm es igual a la mitad de un cuanto de flujo$A_{\phi} = \frac{1}{2}$, entonces tanto los términos cinéticos como los términos de interacción de la órbita de calibre se vuelven invariantes bajo la transformación de calibre grande$e^{i\phi}$(que cambia el potencial de calibre en un cuanto) seguido de una transformación de inversión de tiempo. Por tanto, esta transformación es una simetría del hamiltoniano. Como consecuencia, hay dos estados degenerados de espín opuesto que están relacionados por la transformación anterior. Estos dos estados deberían poder distinguirse por medio de sus fases Berry.

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Estoy usando el término grupo de indicadores para el grupo de todas las transformaciones de indicadores (incluidas las transformaciones de indicadores pequeños y grandes). En nuestro caso no es el grupo unidimensional$U(1)$de transformaciones de calibre global, pero el grupo infinito$\mathrm{Map}(S^1, U(1))$de transformaciones locales de gauge. Este grupo está desconectado. Su parte desconectada módulo la componente conectada (que forman el grupo de transformaciones de gran calibre) es$\pi_1(S^1)= \mathbb{Z}$realizado mediante transformaciones del tipo$e^{i n \phi}$para entero$n$. Este es esencialmente el mismo grupo de calibre abordado por Landsman y Wren en mi respuesta a la pregunta adjunta en el texto principal (en su caso es$\mathrm{Map}(S^1, U(n))$, pero ya que para$G$semisimple y sin centro$\pi_1(G)= 0$, por lo que sólo el$U(1)$parte de$U(n)$contribuye a las grandes transformaciones de calibre.

Como enfaticé en mi respuesta al comentario de Friedrich en la pregunta adjunta; el grupo de elementos desconectados del componente unidad (componente módulo conectado) es la definición básica de transformación de gran calibre. Es cierto que cuando describe esferas como compactaciones de un punto de espacios planos, entonces las transformaciones de gran calibre se convierten en aquellas que no se acercan a la unidad en el infinito. Puedes hacer este ejercicio para nuestro caso expresando$S^1$como un punto de compactación de$\mathbb{R}$.

El hamiltoniano del sistema Aharonov-Bohm no es invariante bajo una transformación de gran calibre porque la teoría es solo cuasi invariante y no completamente invariante. Esto se puede verificar fácilmente por sustitución directa.

Una simetría de la teoría es una transformación que conmuta con el hamiltoniano sin actuar sobre las funciones de onda. Solo enfaticé eso para decir que el sistema AB no es invariante bajo transformaciones de gran calibre.

Su último comentario resume correctamente la distinción entre simetría y redundancia.