SO(N)SO(N)SO(N) teoría simétrica de campos escalares reales NNN, ¿por qué las cargas tienen relaciones de conmutación correctas de los generadores?

Question

SO(N)SO(N)SO(N) teoría simétrica de campos escalares reales NNN, ¿por qué las cargas tienen relaciones de conmutación correctas de los generadores?

usuario166854

Considere un $SO(N)$ teoría simétrica de $N$ campos escalares reales,

L = \frac{1}{2} \partial_{m} Φ^{a} \partial^{m} Φ^{a} - \frac{1}{2} {metro}^{2} Φ^{a} Φ^{a} - \frac{1}{4} λ (Φ^{a} Φ^{a})^{2} .

$\mathcal{L} = {1\over2} \partial_\mu \Phi^a \partial^\mu \Phi^a - {1\over2} m^2 \Phi^a \Phi^a - {1\over4} \lambda(\Phi^a \Phi^a)^2.$ Para la teoría cuántica, considere la

S O (N)

$SO(N)$ cargos

{\hat{Q}}_{a b} = \int d^{3} x {\hat{J}}_{a b}^{0}

$\hat{Q}_{ab} = \int d^3 \textbf{x}\,\hat{J}_{ab}^0$ . ¿Por qué los cargos

{\hat{Q}}_{a b}

$\hat{Q}_{ab}$ Tener relaciones de conmutación correctas de los generadores de la

S O (N)

$SO(N)$ ¿simetría?

una mente curiosa

Por favor dé una definición de

{\hat{J}}_{a b}^{0}

$\hat{J}^0_{ab}$ . Por ejemplo, si uno los define de la manera "correcta", es decir, como las corrientes conservadas bajo la obvia

S O (N)

$\mathrm{SO}(N)$ simetría, la pregunta se vuelve bastante trivial porque las cargas conservadas de una simetría son genéricamente las generadoras de esa simetría.

Respuestas (1)

SO(N)SO(N)SO(N) teoría simétrica de campos escalares reales NNN, ¿por qué las cargas tienen relaciones de conmutación correctas de los generadores?

Por favor dé una definición de $\hat{J}^0_{ab}$ . Por ejemplo, si uno los define de la manera "correcta", es decir, como las corrientes conservadas bajo la obvia $\mathrm{SO}(N)$ simetría, la pregunta se vuelve bastante trivial porque las cargas conservadas de una simetría son genéricamente las generadoras de esa simetría.

qmecanico · Answer 1

Consideremos la teoría hamiltoniana correspondiente, de modo que tengamos una noción de conmutador que podamos usar para formar un corchete de álgebra de Lie. Además, consideremos la teoría clásica por simplicidad. Entonces el soporte de Poisson
$\begin{matrix} (1) & {Φ^{a} (X), Π_{b} (y)}_{PAG B} = d_{b}^{a} d^{3} (X - y), etc., \end{matrix}$ $\tag{1} \{\Phi^a({\bf x}),\Pi_b({\bf y})\}_{PB}~=~\delta^a_b~\delta^3({\bf x}-{\bf y}), \qquad \text{etc},$ juega el papel de conmutador.
La densidad lagrangiana hamiltoniana ${\cal L}_H$ porque la teoría de OP es de la forma
$\begin{matrix} (2) & L_{H} = Π_{a} {\dot{Φ}}^{a} - H, H = \frac{1}{2} Π^{2} + V (Φ^{2}, (\nabla Φ)^{2}), \end{matrix}$ $\tag{2} {\cal L}_H~=~ \Pi_a \dot{\Phi}^a -{\cal H}, \qquad {\cal H} ~=~ \frac{1}{2} \Pi^2 +{\cal V}(\Phi^2, (\nabla\Phi)^2) ,$ donde hemos introducido la notación $\begin{matrix} (3) & Φ^{2} := Φ^{a} {gramo}_{a b} Φ^{b}, Π^{2} := Π^{a} {gramo}_{a b} Π^{b}, etc. . \end{matrix}$ $\tag{3} \Phi^2 :=\Phi^a g_{ab} \Phi^b, \qquad \Pi^2 :=\Pi^a g_{ab} \Pi^b, \qquad \text{etc}.$
Aquí el $o(N)$ -índices $a,b,\ldots,$ se suben y bajan con una métrica constante $g_{ab}$ . El $O(N)$ simetría
$\begin{matrix} (4) & d Φ^{a} = ε {Φ^{a}, q [ω]}_{PAG B} = ε ω^{a}_{b} Φ^{b}, d Π^{a} = ε {Π^{a}, q [ω]}_{PAG B} = ε ω^{a}_{b} Π^{b}, \end{matrix}$ $\tag{4} \delta \Phi^a ~=~ \varepsilon \{\Phi^a, Q[\omega]\}_{PB}~=~\varepsilon\omega^{a}{}_{b}\Phi^b, \quad \delta \Pi^a ~=~ \varepsilon \{\Pi^a, Q[\omega]\}_{PB}~=~\varepsilon\omega^{a}{}_{b}\Pi^b, \qquad$ tiene generadores $\begin{matrix} (5) & q [ω] := \frac{1}{2} ω_{a b} q^{a b} = Π^{a} ω_{a b} Φ^{b}, q^{a b} := \int d^{3} X (Π^{a} Φ^{b} - Φ^{a} Π^{b}), \end{matrix}$ $\tag{5} Q[\omega]~:= \frac{1}{2}\omega_{ab} Q^{ab} ~=~\Pi^a\omega_{ab}\Phi^b, \qquad Q^{ab}~:=~\int\! d^3x\left( \Pi^a\Phi^b-\Phi^a\Pi^b\right),$ dónde $\begin{matrix} (6) & ω_{a b} = - ω_{b a} \end{matrix}$ $\tag{6} \omega_{ab}~=~-\omega_{ba}$ son matrices antisimétricas.
No es difícil comprobar que los generadores (5) equipados con el soporte de Poisson (1) forman un $o(N)$ Lie-álgebra. Consulte también esta publicación Phys.SE relacionada.
Las cargas de Noether son las generadoras de la simetría, como siempre ocurre con las teorías hamiltonianas, cf. por ejemplo, esta publicación de Phys.SE. Esto también se puede confirmar explícitamente en el caso anterior.
Concluimos que las cargas de Noether (5) forman un $o(N)$ álgebra de mentira.
Finalmente, parece que OP también está haciendo una pregunta más general de si alguna simetría de cualquier acción se eleva a una simetría de las cargas de Noether correspondientes. Esta es una buena pregunta y se discute en, por ejemplo, esta publicación de Phys.SE. La respuesta es: ¡ No siempre! Puede haber obstrucciones/anomalías clásicas o cuánticas, como por ejemplo cargas centrales y 2 cociclos.

SO(N)SO(N)SO(N) teoría simétrica de campos escalares reales NNN, ¿por qué las cargas tienen relaciones de conmutación correctas de los generadores?

usuario166854

una mente curiosa

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qmecanico

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